ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Решите уравнение:

1) \(
\log_{v_3} (2^x — 3) + \log_{v_3} (2^x — 1) = 2
\)

2) \(
\log_{10} (3^x — 4) + \log_{10} (3^x — 2) = 1
\)

1)
\( \log_{\sqrt{3}}(2^x — 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^x — 1) = 2; \)
Решение:
\( \log_{\sqrt{3}}((2^x — 3)(2^x — 1)) = \log_{\sqrt{3}}3; \)
\( (2^x — 3)(2^x — 1) = 3; \)
\( 2^{2x} — 4 \cdot 2^x = 0; \)
\( 2^x(2^x — 4) = 0; \)
Ответ: \( x = 2. \)

2)
\(\lg(3^x — 4) + \lg(3^x — 2) = 1; \)
Решение:
\(\lg((3^x — 4)(3^x — 2)) = \lg10; \)
\((3^x — 4)(3^x — 2) = 10; \)
\(3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 2 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 36 + 8 = 44; \)
Корни:
\( 3^x = 3 + \sqrt{11},\ x = \log_3(3 + \sqrt{11}). \)
Ответ: \( x = \log_3(3 + \sqrt{11}). \)

1)
\( \log_{\sqrt{3}}(2^x — 3) + \log_{\sqrt{3}}(2^x — 1) = 2 \)
Решение:
Используем свойство логарифмов:
\( \log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) \)
Получаем:
\( \log_{\sqrt{3}}((2^x — 3)(2^x — 1)) = \log_{\sqrt{3}}3 \)
Так как логарифмы равны, то их аргументы равны:
\( (2^x — 3)(2^x — 1) = 3 \)
Раскрываем скобки:
\( 2^{2x} — 3 \cdot 2^x — 1 \cdot 2^x + 3 = 3 \)
Упрощаем:
\( 2^{2x} — 4 \cdot 2^x + 3 — 3 = 0 \)
\( 2^{2x} — 4 \cdot 2^x = 0 \)
Выносим \( 2^x \) за скобки:
\( 2^x(2^x — 4) = 0 \)
Рассматриваем два случая:
1. \( 2^x = 0 \) — не подходит, так как \( 2^x > 0 \).
2. \( 2^x — 4 = 0 \):
\( 2^x = 4 \)
Находим \( x \):
\( x = \log_2 4 = 2 \)

Область определения:
\( 2^x — 3 > 0,\quad 2^x — 1 > 0 \)
Решаем неравенства:
\( 2^x > 3,\quad 2^x > 1 \)
Условие выполнено при \( x = 2 \).

Ответ:
\( x = 2 \)

2)
\( \lg(3^x — 4) + \lg(3^x — 2) = 1 \)
Решение:
Используем свойство логарифмов:
\( \lg a + \lg b = \lg(a \cdot b) \)
Получаем:
\( \lg((3^x — 4)(3^x — 2)) = \lg10 \)
Так как логарифмы равны, то их аргументы равны:
\( (3^x — 4)(3^x — 2) = 10 \)
Раскрываем скобки:
\( 3^{2x} — 4 \cdot 3^x — 2 \cdot 3^x + 8 = 10 \)
Упрощаем:
\( 3^{2x} — 6 \cdot 3^x + 8 — 10 = 0 \)
\( 3^{2x} — 6 \cdot 3^x — 2 = 0 \)

Замена переменной:
Пусть \( y = 3^x \), тогда уравнение примет вид:
\( y^2 — 6y — 2 = 0 \)

Находим дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44 \)

Находим корни квадратного уравнения:
\( y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{44}}{2} \)
Упрощаем:
\( y = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} \)
Разделяем на два корня:
\( y_1 = \frac{6 + \sqrt{44}}{2},\quad y_2 = \frac{6 — \sqrt{44}}{2} \)

Упрощаем дальше:
\( y_1 = 3 + \sqrt{11},\quad y_2 = 3 — \sqrt{11} \)

Так как \( y = 3^x > 0, \), то \( y_2 = 3 — \sqrt{11} \) не подходит (отрицательное значение).

Остаётся:
\( y = 3 + \sqrt{11} \)

Возвращаемся к исходной переменной \( x: \)
\( 3^x = y,\quad x = \log_3(3 + \sqrt{11}) \)

Область определения:
\( 3^x — 4 > 0,\quad 3^x — 2 > 0 \)
Решаем неравенства:
\( 3^x > 4,\quad 3^x > 2 \)

Ответ:
\( x = \log_3(3 + \sqrt{11}) \)