ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad (\log_2 x)^2 + 3\log_2 x — 4 = 0; \\
2) & \quad (\log_3 x)^2 — \log_3 x — 2 = 0; \\
3) & \quad \lg^2 x — 2 \lg x^2 + 3 = 0; \\
4) & \quad \log_5 x + \log_x 5 = 2.5; \\
5) & \quad 2\log_{(1/6)} x + 3v(\log_{(1/6)} x) — 5 = 0; \\
6) & \quad \frac{2}{\lg (x+2) — 3} + \frac{4}{\lg (x+2) + 1} = 1.
\end{align*}
\)

1) \( \log_2^2 x + 3 \log_2 x — 4 = 0; \)
\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \) тогда:
\( \log_2 x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \, x_1 = 2^{-4} = \frac{1}{16}; \)
\( \log_2 x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \, x_2 = 2^1 = 2; \)
Ответ: \( \frac{1}{16}; 2. \)

2) \( \log_3^2 x — \log_3 x — 2 = 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \) тогда:
\( \log_3 x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \, x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3}; \)
\( \log_3 x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \, x_2 = 3^2 = 9; \)
Ответ: \( \frac{1}{3}; 9. \)

3) \( \lg^2 x — 2 \lg x^2 + 3 = 0; \)
\( \lg^2 x — 4 \lg x + 3 = 0; \)
\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \) тогда:
\( \lg x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = 1, \, x_1 = 10^1 = 10; \)
\( \lg x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \, x_2 = 10^3 = 1000; \)
Ответ: \( 10; 1000. \)

4) \(4 \log_5 x + \log_5 5 = 2,5\)
\(2 \log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} — 5 = 0\)
\(2 \log_5^2 x — 5 \log_5 x + 2 = 0\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\), тогда:
\(\log_5 x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, x_1 = 5^2 = \sqrt{5}\)
\(\log_5 x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2, x_2 = 5^2 = 25\)
Ответ: \(\sqrt{5}, 25\).

5) \(2 \log_1 x + 3 \log_1 x — 5 = 0\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49\), тогда:
\(\log_1 x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{2}, x_1 \in \emptyset\)
\(\log_1 x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1, x_2 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} = \frac{1}{6}\)
Ответ: \(\frac{1}{6}\).

6) \(\frac{2}{\lg(x + 2) — 3} + \frac{4}{\lg(x + 2) + 1} = 1\)
\(2(\lg(x + 2) + 1) + 4(\lg(x + 2) — 3) = (\lg(x + 2) — 3)(\lg(x + 2) + 1)\)
\(2\lg(x + 2) + 2 + 4\lg(x + 2) — 12 = \lg^2(x + 2) — 2\lg(x + 2) — 3\)
\(\lg^2(x + 2) — 8\lg(x + 2) + 7 = 0\)
\(D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36\), тогда:
\(\lg(x_1 + 2) = \frac{8 — 6}{2} = 1, x_1 + 2 = 10, x_1 = 8\)
\(\lg(x_2 + 2) = \frac{8 + 6}{2} = 7, x_2 + 2 = 10^7, x_2 = 10^7 — 2\)
Ответ: 8, \(10^7 — 2\).

1) Решите уравнение:
\(
\log_2^2 x + 3 \log_2 x — 4 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\log_2 x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_1 = 2^{-4} = \frac{1}{16}
\)
\(
\log_2 x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = 2^1 = 2
\)
Ответ: \(\frac{1}{16}, 2\).

2) Решите уравнение:
\(
\log_3^2 x — \log_3 x — 2 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\log_3 x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3}
\)
\(
\log_3 x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = 3^2 = 9
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}, 9\).

3) Решите уравнение:
\(
\lg^2 x — 2 \lg x^2 + 3 = 0
\)
Преобразуем уравнение:
\(
\lg^2 x — 4 \lg x + 3 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\lg x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = 1, \quad x_1 = 10^1 = 10
\)
\(
\lg x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \quad x_2 = 10^3 = 1000
\)
Ответ: 10, 1000.

4) Решите уравнение:
\(
4 \log_5 x + \log_5 5 = 2,5
\)
\(
2 \log_5 x + \frac{2}{\log_5 x} — 5 = 0
\)
\(
2 \log_5^2 x — 5 \log_5 x + 2 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\log_5 x_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad x_1 = 5^2 = \sqrt{5}
\)
\(
\log_5 x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2, \quad x_2 = 5^2 = 25
\)
Ответ: \(\sqrt{5}, 25\).

5) Решите уравнение:
\(
2 \log_1 x + 3 \log_1 x — 5 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\log_1 x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \in \emptyset
\)
\(
\log_1 x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1, \quad x_2 = \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} = \frac{1}{6}
\)
Ответ: \(\frac{1}{6}\).

6) Решите уравнение:
\(
\frac{2}{\lg(x + 2) — 3} + \frac{4}{\lg(x + 2) + 1} = 1
\)
Преобразуем уравнение:
\(
2(\lg(x + 2) + 1) + 4(\lg(x + 2) — 3) = (\lg(x + 2) — 3)(\lg(x + 2) + 1)
\)
\(
2\lg(x + 2) + 2 + 4\lg(x + 2) — 12 = \lg^2(x + 2) — 2\lg(x + 2) — 3
\)
\(
\lg^2(x + 2) — 8\lg(x + 2) + 7 = 0
\)
Вычислим дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36
\)
Тогда решения уравнения:
\(
\lg(x_1 + 2) = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_1 + 2 = 10, \quad x_1 = 8
\)
\(
\lg(x_2 + 2) = \frac{8 + 6}{2} = 7, \quad x_2 + 2 = 10^7, \quad x_2 = 10^7 — 2
\)
Ответ: 8, \(10^7 — 2\).