ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 3(\log_8 (-x))^2 — 2\log_8 (-x) — 1 = 0; \\
2) & \quad 2\log_7 (vx) = (\log_7 x)^2 — 6; \\
3) & \quad 3\log_3 x + 3\log_x 3 = 10; \\
4) & \quad \frac{\lg x}{\lg x + 2} — \frac{2}{\lg x — 1} = 1.
\end{align*}
\)

1) \( 3 (\log_8(-x))^2 — 2 \log_8(-x) — 1 = 0 \);
\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 \), тогда:
\(
\log_8(-x_1) = \frac{2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad x_1 = -8^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2};
\)
\(
\log_8(-x_2) = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = 1, \quad x_2 = -8^1 = -8;
\)
Ответ: \(-8; -\frac{1}{2}\).

2) \( 2 \log_7 \sqrt{x} = (\log_7 x)^2 — 6 \);
\(
(\log_7 x)^2 — \log_7 x — 6 = 0;
\)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 \), тогда:
\(
\log_7 x_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2} = -2, \quad x_1 = 7^{-2} = \frac{1}{49};
\)
\(
\log_7 x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3, \quad x_2 = 7^3 = 343;
\)
Ответ: \( \frac{1}{49}; 343 \).

3) \( 3 \log_3 x + 3 \log_x 3 = 10 \);
reshak.ru
\( 3 \log_3 x + \frac{3}{\log_3 x} — 10 = 0 \);
\( 3 \log_3^2 x — 10 \log_3 x + 3 = 0 \);

\( D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64 \), тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_1 = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3};
\)
\(
\log_3 x_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3, \quad x_2 = 3^3 = 27;
\)

Ответ: \( \sqrt[3]{3}; 27 \).

4) \( \frac{\lg x}{\lg x + 2} — \frac{2}{\lg x — 1} = 1 \);
\(
\frac{\lg x (\lg x — 1) — 2 (\lg x + 2)}{(\lg x + 2)(\lg x — 1)} = 1;
\)
\(
\lg^2 x — \lg x — 2 \lg x — 4 = (\lg^2 x — \lg x + 2 \lg x — 2);
\)
\(
4 \lg x = -2, \quad \lg x = -\frac{1}{2}, \quad x = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}};
\)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{10}} \).

1) Уравнение \( 3 (\log_8(-x))^2 — 2 \log_8(-x) — 1 = 0 \)

Сначала находим дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
\)

Теперь находим корни уравнения:

\(
\log_8(-x_1) = \frac{-(-2) — \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{1}{3}
\)

\(
x_1 = -8^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2}
\)

\(
\log_8(-x_2) = \frac{-(-2) + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1
\)

\(
x_2 = -8^1 = -8
\)

Ответ: \( -8; -\frac{1}{2} \).

2) Уравнение \( 2 \log_7 \sqrt{x} = (\log_7 x)^2 — 6 \)

Сначала преобразуем уравнение:

\(
2 \log_7 x^{1/2} = (\log_7 x)^2 — 6 — \log_7 x = y
\)

\(
2 \cdot \frac{1}{2} y = y^2 — 6 — y^2 — y — 6 = 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Теперь находим корни:

\(
y_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2 — x_1 = 7^{-2} = \frac{1}{49}
\)

\(
y_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 — x_2 = 7^3 = 343
\)

Ответ: \( \frac{1}{49}; 343 \).

3) Уравнение \( 3 \log_3 x + 3 \log_x 3 = 10 \)

Преобразуем второе слагаемое:

\(
3 \log_3 x + 3 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 10
\)

Обозначим \( z = \log_3 x \):

\(
3z + \frac{3}{z} — 10 = 0 — 3z^2 — 10z + 3 = 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64
\)

Теперь находим корни:

\(
z_1 = \frac{10 — \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{10 — 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} — x_1 = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3}
\)

\(
z_2 = \frac{10 + \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = 3 — x_2 = 3^3 = 27
\)

Ответ: \( \sqrt[3]{3}; 27 \).

4) Уравнение \( \frac{\lg x}{\lg x + 2} — \frac{2}{\lg x — 1} = 1 \)

Приведем к общему знаменателю:

\(
\frac{\lg x (\lg x — 1) — 2 (\lg x + 2)}{(\lg x + 2)(\lg x — 1)} = 1
\)

Упрощаем числитель:

\(
\lg^2 x — \lg x — 2 \lg x — 4 = (\lg^2 x — \lg x + 2 \lg x — 2)
\)

\(
\lg^2 x — 3 \lg x — 4 = 0
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\)

Теперь находим корни:

\(
4 \lg x = -2, \quad \lg x = -\frac{1}{2}, \quad x = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}};
\)

Ответ: \( \frac{1}{\sqrt{10}} \).