Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(
\frac{2 \lg x}{\lg (8x — 7)} = 1
\)
2) \(
\frac{\log_4 (x^2 + x — 2) — 1}{\log_4 (x — 1)} = 0
\)
3) \(
\log_x (2x^2 — 7x + 12) = 2
\)
4) \(
\log_{(x + 1)} (x + 3) = 2
\)
5) \(
\log_{(x — 2)} (2x^2 — 11x + 16) = 2
\)
1)
\(
\frac{2 \lg x}{\lg(8x — 7)} = 1
\)
Решение:
\(
\lg x^2 = \lg(8x — 7) — x^2 = 8x — 7 — x^2 — 8x + 7 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36
\)
Корни:
\(
x_1 = 2, \quad x_2 = 7
\)
Область определения:
\(
\lg(8x — 7) \leq 0, \quad x > 0, \quad 8x — 7 > 0
\)
Ответ: \( x = 7 \).
2)
\(
\frac{\log_4(x^2 + x — 2) — 1}{\log_4(x — 1)} = 0
\)
Решение:
\(
\log_4(x^2 + x — 2) — 1 = 0 — \log_4(x^2 + x — 2) = 1
\)
Переход к экспоненциальной форме:
\(
x^2 + x — 2 = 4 — x^2 + x — 6 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (1)^2 — 4(1)(-6) = 25
\)
Корни:
\(
x_1 = -3, \quad x_2 = 2
\)
Область определения: \( x > 1 \).
Ответ: \( x = 2 \).
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\)
Область определения:
\(
\log_4(x — 1) = 0, \quad x — 1 \neq 1, \quad x — 1 > 0
\)
\(
x \neq 2, \quad x > 1
\)
Ответ: корней нет.
3)
\(
\log_x(2x^2 — 7x + 12) = 2
\)
\(
2x^2 — 7x + 12 = x^2
\)
\(
x^2 — 7x + 12 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\)
Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1
\)
Ответ: \( x = 3, \, x = 4 \).
4)
\(
\log_{x+1}(x+3) = 2
\)
\(
x + 3 = (x + 1)^2
\)
\(
x + 3 = x^2 + 2x + 1
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)
Область определения:
\(
x + 1 > 0, \quad x + 1 \neq 1
\)
\(
x > -1, \quad x \neq 0
\)
Ответ: \( x = 1 \).
5)
\(
\log_{x-2}(2x^2 — 11x + 16) = 2
\)
\(
2x^2 — 11x + 16 = (x — 2)^2
\)
\(
2x^2 — 11x + 16 = x^2 — 4x + 4
\)
\(
x^2 — 7x + 12 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\)
Область определения:
\(
x — 2 > 0, \quad x — 2 \neq 1
\)
Ответ: \( x = 4 \).
1) Рассмотрим уравнение:
\(
\frac{2 \lg x}{\lg (8x — 7)} = 1
\)
Решение:
\(
2 \lg x = \lg (8x — 7)
\)
Преобразуем уравнение:
\(
\lg x^2 = \lg (8x — 7) — x^2 = 8x — 7 — x^2 — 8x + 7 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{8 — \sqrt{36}}{2} = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7
\)
Область определения:
\(
8x — 7 > 0 — x > \frac{7}{8}
\)
\(
x > 0
\)
Таким образом, область определения: \( x > \frac{7}{8} \).
Проверим корни:
\(
x_1 = 1 \quad (не подходит, так как 8 \cdot 1 — 7 = 1 \text{ и } \lg(1) = 0)
\)
\(
x_2 = 7 \quad (подходит, так как 8 \cdot 7 — 7 = 49 \text{ и } \lg(49) > 0)
\)
Ответ: \( x = 7 \).
2) Рассмотрим уравнение:
\(
\frac{\log_4 (x^2 + x — 2) — 1}{\log_4 (x — 1)} = 0
\)
Решение:
\(
\log_4 (x^2 + x — 2) — 1 = 0 — \log_4 (x^2 + x — 2) = 1
\)
Переход к экспоненциальной форме:
\(
x^2 + x — 2 = 4 — x^2 + x — 6 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2
\)
Область определения:
\(
x — 1 > 0 — x > 1
\)
Проверим корни:
\(
x_1 = -3 \quad (не подходит, так как x > 1)
\)
Ответ: корней нет.
3) Рассмотрим уравнение:
\(
\log_x (2x^2 — 7x + 12) = 2
\)
Перепишем уравнение:
\(
2x^2 — 7x + 12 = x^2
\)
Приведем все к одной стороне:
\(
x^2 — 7x + 12 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\)
Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1
\)
Проверим корни:
\(
x_1 = 3 \quad (подходит, так как 2 \cdot 3^2 — 7 \cdot 3 + 12 = 6 > 0)
\)
\(
x_2 = 4 \quad (подходит, так как 2 \cdot 4^2 — 7 \cdot 4 + 12 = 0)
\)
Ответ: \( x = 3, \, x = 4 \).
4) Рассмотрим уравнение:
\(
\log_{(x + 1)} (x + 3) = 2
\)
Перепишем уравнение:
\(
x + 3 = (x + 1)^2
\)
Раскроем скобки:
\(
x + 3 = x^2 + 2x + 1
\)
Приведем все к одной стороне:
\(
x^2 + 2x + 1 — x — 3 = 0 — x^2 + x — 2 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)
Область определения:
\(
x + 1 > 0 — x > -1
\)
\(
x + 1 \neq 1 — x \neq 0
\)
Проверим корни:
\(
x_1 = -2 \quad (не подходит, так как x > -1)
\)
\(
x_2 = 1 \quad (подходит, так как x > -1)
\)
Ответ: \( x = 1 \).
5) Рассмотрим уравнение:
\(
\log_{(x — 2)} (2x^2 — 11x + 16) = 2
\)
Перепишем уравнение:
\(
2x^2 — 11x + 16 = (x — 2)^2
\)
Раскроем скобки:
\(
2x^2 — 11x + 16 = x^2 — 4x + 4
\)
Приведем все к одной стороне:
\(
2x^2 — 11x + 16 — x^2 + 4x — 4 = 0 — x^2 — 7x + 12 = 0
\)
Дискриминант:
\(
D = (-7)^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1
\)
Корни:
\(
x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4
\)
Область определения:
\(
x — 2 > 0 — x > 2
\)
Проверим корни:
\(
x_2 = 4 \quad (подходит, так как x > 2)
\)
Ответ: \( x = 4 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.