ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_{\frac{1}{5}} (x+7) = -3; \\
2) & \quad \log_{4} (2x-5) = 0.5; \\
3) & \quad \log_{v3} (x^2-5x-3) = 2; \\
4) & \quad \log_{\frac{1}{2}} (x^2-5x+6) = -1.
\end{align*}
\)

1) \(\log_{\frac{1}{5}}(x+7) = -3\);
\(
x + 7 = 125, \quad x = 118;
\)
Ответ: \(118\).

2) \(\log_{4}(2x-5) = 0,5\);
\(
2x — 5 = 2, \quad 2x = 7, \quad x = 3,5;
\)
Ответ: \(3,5\).

3) \(\log_{3}(x^2 — 5x — 3) = 2\);
\(
x^2 — 5x — 3 = 9, \quad x^2 — 5x — 6 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49;
\)
\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{49}}{2} = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6;
\)
Ответ: \(-1; 6\).

4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x + 6) = -1\);
\(
x^2 — 5x + 6 = (\frac{1}{2})^{-1} = 2, \quad x^2 — 5x + 4 = 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9;
\)
\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{9}}{2} = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
Ответ: \(1; 4\).

1) \(\log_{\frac{1}{5}}(x+7) = -3\)

Преобразуем уравнение, используя определение логарифма:
\(
x + 7 = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3}
\)
\(
x + 7 = 125
\)
\(
x = 125 — 7
\)
\(
x = 118
\)

Ответ: \(118\).

2) \(\log_{4}(2x-5) = 0,5\)

Преобразуем уравнение:
\(
2x — 5 = 4^{0,5}
\)
\(
2x — 5 = \sqrt{4}
\)
\(
2x — 5 = 2
\)
\(
2x = 2 + 5
\)
\(
2x = 7
\)
\(
x = \frac{7}{2}
\)
\(
x = 3,5
\)

Ответ: \(3,5\).

3) \(\log_{3}(x^2 — 5x — 3) = 2\)

Используем определение логарифма:
\(
x^2 — 5x — 3 = 3^2
\)
\(
x^2 — 5x — 3 = 9
\)
Переносим \(9\) в левую часть:
\(
x^2 — 5x — 6 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6)
\)
\(
D = 25 + 24
\)
\(
D = 49
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 7}{2}
\)
\(
x_1 = -1
\)

\(
x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_2 = \frac{5 + 7}{2}
\)
\(
x_2 = 6
\)

Ответ: \(-1; 6\).

4) \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x + 6) = -1\)

Используем определение логарифма:
\(
x^2 — 5x + 6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}
\)
Преобразуем правую часть:
\(
x^2 — 5x + 6 = 2
\)
Переносим \(2\) в левую часть:
\(
x^2 — 5x + 4 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4
\)
\(
D = 25 — 16
\)
\(
D = 9
\)

Находим корни:
\(
x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_1 = \frac{5 — 3}{2}
\)
\(
x_1 = 1
\)

\(
x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}
\)
\(
x_2 = \frac{5 + 3}{2}
\)
\(
x_2 = 4
\)

Ответ: \(1; 4\).