ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{2 \log_2 x}{\log_2 (3 — 2x)} = 1
\)

2)
\(
\frac{\log_5 (x^2 — 9x + 25) — 1}{\lg (x — 3)} = 0
\)

3)
\(
\log_{(x — 1)} (x^2 — 5x + 7) = 1
\)

4)
\(
\log_x (x + 6) = 2
\)

5)
\(
\log_{(2x — 3)} (3x^2 — 7x + 3) = 2
\)

1)
\(
\frac{2 \log_2 x}{\log_2 (3 — 2x)} = 1
\)
\(
\log_2 x^2 = \log_2 (3 — 2x)
\)
\(
x^2 = 3 — 2x
\)
\(
x^2 + 2x — 3 = 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16
\)
Тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = 1
\)

Область определения:
\(
\log_2 (3 — 2x) \text{ определено, если } x > 0 \text{ и } 3 — 2x > 0
\)
\(
3 — 2x > 0 — x < 1
\)
Таким образом:
\(
x \in (0; 1)
\)

Ответ: корней нет.

2)
\(
\frac{\log_5 (x^2 — 9x + 25) — 1}{\lg (x — 3)} = 0
\)
\(
\log_5 (x^2 — 9x + 25) — 1 = 0
\)
\(
\log_5 (x^2 — 9x + 25) = 1
\)
\(
x^2 — 9x + 25 = 5
\)
\(
x^2 — 9x + 20 = 0
\)
\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1
\)
Тогда:
\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{1}}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = 5
\)

Область определения:
\(
x — 3 > 0 — x > 3
\)

Ответ:
\(
x = 5
\)

3) \(\log_{x-1}(x^2 — 5x + 7) = 1\);
\(x^2 — 5x + 7 = x — 1\);
\(x^2 — 6x + 8 = 0\);
\(D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4\), тогда:
\(x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = 4\);

Область определения:
\(x — 1 > 0 — x > 1\);
\(x \neq 2\).

Ответ: \(x = 4\).

4) \(\log_x(x + 6) = 2\);
\(x + 6 = x^2\);
\(x^2 — x — 6 = 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\), тогда:
\(x_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3\);

Область определения:
\(x > 0, x \neq 1\).

Ответ: \(x = 3\).

5) \(\log_{2x-3}(3x^2 — 7x + 3) = 2\);
\(3x^2 — 7x + 3 = (2x — 3)^2\);
\(3x^2 — 7x + 3 = 4x^2 — 12x + 9\);
\(x^2 — 5x + 6 = 0\);
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда:
\(x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3\);

Область определения:
\(2x — 3 > 0 — x > \frac{3}{2}\).

Ответ: \(x = 3\).

1) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{2 \log_2 x}{\log_2 (3 — 2x)} = 1
\)

Перепишем уравнение:

\(
2 \log_2 x = \log_2 (3 — 2x)
\)

Преобразуем его:

\(
\log_2 x^2 = \log_2 (3 — 2x)
\)

Следовательно, можно записать:

\(
x^2 = 3 — 2x
\)

Приведем все к одной стороне:

\(
x^2 + 2x — 3 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Корни уравнения будут:

\(
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\)

Теперь определим область определения:

\(
\log_2 (3 — 2x) \text{ определено, если } x > 0 \text{ и } 3 — 2x > 0
\)

Решим неравенство:

\(
3 — 2x > 0 — x < \frac{3}{2}
\)

Таким образом, область определения:

\(
x \in (0; \frac{3}{2})
\)

Проверим корни:

\(
x_1 = -3 \quad (\text{не подходит, так как } x > 0)
\)
\(
x_2 = 1 \quad (\text{подходит, так как } 1 \in (0; \frac{3}{2})
\)

Ответ: корней нет.

2) Рассмотрим уравнение:

\(
\frac{\log_5 (x^2 — 9x + 25) — 1}{\lg (x — 3)} = 0
\)

Перепишем уравнение:

\(
\log_5 (x^2 — 9x + 25) — 1 = 0
\)

Преобразуем его:

\(
\log_5 (x^2 — 9x + 25) = 1
\)

Перейдем к экспоненциальной форме:

\(
x^2 — 9x + 25 = 5
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
x^2 — 9x + 20 = 0
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 — 80 = 1
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{9 — \sqrt{1}}{2} = \frac{9 — 1}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5
\)

Определим область определения:

\(
x — 3 > 0 — x > 3
\)

Проверим корни:

\(
x_2 = 5 \quad (\text{подходит, так как } 5 > 3)
\)

Ответ: \(x = 5\).

3) Рассмотрим уравнение:

\(
\log_{(x-1)}(x^2 — 5x + 7) = 1
\)

Перепишем уравнение:

\(
x^2 — 5x + 7 = x — 1
\)

Приведем все к одной стороне:

\(
x^2 — 6x + 8 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4
\)

Определим область определения:

\(
x — 1 > 0 — x > 1
\)

Также нужно учитывать, что \(x \neq 2\) (основание логарифма не может быть равно 1).

Проверим корни:

\(
x_1 = 2 \quad (\text{не подходит, так как } x \neq 2)
\)
\(
x_2 = 4 \quad (\text{подходит, так как } 4 > 1)
\)

Ответ: \(x = 4\).

4) Рассмотрим уравнение:

\(
\log_x(x + 6) = 2
\)

Перепишем уравнение:

\(
x + 6 = x^2
\)

Приведем все к одной стороне:

\(
x^2 — x — 6 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3
\)

Определим область определения:

\(
x > 0 \quad \text{и} \quad x \neq 1
\)

Проверим корни:

\(
x_1 = -2 \quad (\text{не подходит, так как } x > 0)
\)
\(
x_2 = 3 \quad (\text{подходит, так как } 3 > 0)
\)

Ответ: \(x = 3\).

5) Рассмотрим уравнение:

\(
\log_{(2x-3)}(3x^2 — 7x + 3) = 2
\)

Перепишем уравнение:

\(
3x^2 — 7x + 3 = (2x — 3)^2
\)

Раскроем скобки:

\(
3x^2 — 7x + 3 = 4x^2 — 12x + 9
\)

Приведем все к одной стороне:

\(
3x^2 — 7x + 3 — 4x^2 + 12x — 9 = 0 — -x^2 + 5x — 6 = 0
\)

Умножим на -1:

\(
x^2 — 5x + 6 = 0
\)

Теперь найдем дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{5 — \sqrt{1}}{2} = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3
\)

Определим область определения:

\(
2x — 3 > 0 — x > \frac{3}{2}
\)

Проверим корни:

\(
x_2 = 3 \quad (\text{подходит, так как } 3 > \frac{3}{2})
\)

Ответ: \( x = 3\).