ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( \log_2 (x-5)^2 — 2 \log_2 (x+2) = 2 \)

2) \( \frac{1}{2} \lg x^2 + \lg (x+7) = 1 \)

1) \(\log_2 (x — 5)^2 — 2 \log_2 (x + 2) = 2;\)
\(\log_2 (x — 5)^2 — \log_2 (x + 2)^2 = \log_2 4;\)
\(\log_2 \frac{(x — 5)^2}{(x + 2)^2} = \log_2 4;\)
\(\frac{(x — 5)^2}{(x + 2)^2} = 4;\)
\((x — 5)^2 = 4 (x + 2)^2;\)
\(x^2 — 10x + 25 = 4x^2 + 16x + 16;\)
\(3x^2 + 26x — 9 = 0;\)

\(D = 26^2 + 4 \cdot 3 \cdot 9 = 676 + 108 = 784,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-26 — 28}{2 \cdot 3} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-26 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3};
\)

Область определения:
\(x — 5 \neq 0, \quad x + 2 > 0;\)
\(x \neq 5, \quad x > -2;\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\).

2) \(\frac{1}{2} \lg x^2 + \lg (x+7) = 1;\)
\(\lg x^2 + 2 \lg (x+7) = 2;\)
\(\lg \left( x^2 (x+7)^2 \right) = \lg 100;\)
\(\left( x(x+7) \right)^2 = 100;\)

Первое значение:
\(x(x+7) = -10;\)
\(x^2 + 7x + 10 = 0;\)
\(D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2;
\)

Второе значение:
\(x(x+7) = 10;\)
\(x^2 + 7x — 10 = 0;\)
\(D = 7^2 + 4 \cdot 10 = 49 + 40 = 89,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-7 — \sqrt{89}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + \sqrt{89}}{2};
\)

Область определения:
\(x \neq 0, \quad x+7 > 0;\)
\(x \neq 0, \quad x > -7;\)

Ответ: \(-5; -2; \frac{-7 — \sqrt{89}}{2}.\)

Задача 1

Дано уравнение:

\(
\log_2 (x — 5)^2 — 2 \log_2 (x + 2) = 2
\)

1. Используем свойство логарифмов: \(a \log_b c = \log_b c^a\). Тогда:

\(
\log_2 (x — 5)^2 — \log_2 (x + 2)^2 = 2
\)

2. Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного:

\(
\log_2 \frac{(x — 5)^2}{(x + 2)^2} = 2
\)

3. Перепишем правую часть как логарифм:

\(
2 = \log_2 4
\)

Потому что \(2 = \log_2 4\), так как \(2^2 = 4\).

4. Следовательно,

\(
\log_2 \frac{(x — 5)^2}{(x + 2)^2} = \log_2 4
\)

Отсюда по определению логарифма:

\(
\frac{(x — 5)^2}{(x + 2)^2} = 4
\)

5. Умножаем обе части на знаменатель:

\(
(x — 5)^2 = 4 (x + 2)^2
\)

6. Раскроем скобки:

\(
(x — 5)^2 = x^2 — 10x + 25
\)
\(
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
\)

Тогда уравнение:

\(
x^2 — 10x + 25 = 4(x^2 + 4x + 4)
\)

7. Раскроем правую часть:

\(
x^2 — 10x + 25 = 4x^2 + 16x + 16
\)

8. Переносим все в левую часть:

\(
x^2 — 10x + 25 — 4x^2 — 16x — 16 = 0
\)

\(
x^2 — 4x^2 — 10x — 16x + 25 — 16 = 0
\)

\(
-3x^2 — 26x + 9 = 0
\)

Умножим на \(-1\) для удобства:

\(
3x^2 + 26x — 9 = 0
\)

9. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант

\(
D = 26^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 676 + 108 = 784
\)

10. Корни:

\(
x_{1,2} = \frac{-26 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 3} = \frac{-26 \pm 28}{6}
\)

\(
x_1 = \frac{-26 — 28}{6} = \frac{-54}{6} = -9
\)

\(
x_2 = \frac{-26 + 28}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\)

11. Область определения логарифмов:

— Подлоговое выражение в \(\log_2 (x — 5)^2\) должно быть положительным, но так как это квадрат, он всегда неотрицателен, но при этом \(x-5 \neq 0\), чтобы логарифм был определён. Значит \(x \neq 5\).

— Подлоговое выражение в \(\log_2 (x + 2)\) должно быть строго положительным:

\(
x + 2 > 0 — x > -2
\)

12. Проверяем корни на область определения:

— \(x_1 = -9\) не подходит, так как \(-9 \not> -2\).

— \(x_2 = \frac{1}{3}\) подходит, так как \(\frac{1}{3} > -2\) и \(\frac{1}{3} \neq 5\).

Ответ:

\(
x = \frac{1}{3}
\)

Задача 2

Дано уравнение:

\(
\frac{1}{2} \lg x^2 + \lg (x+7) = 1
\)

Здесь \(\lg\) — десятичный логарифм.

1. Умножим первое слагаемое на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(
\lg x^2 + 2 \lg (x+7) = 2
\)

2. Используем свойства логарифмов:

\(
\lg x^2 + \lg (x+7)^2 = 2
\)

3. Сложение логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения:

\(
\lg \left( x^2 (x+7)^2 \right) = 2
\)

4. Перепишем правую часть как логарифм:

\(
2 = \lg 100
\)

Потому что \(10^2 = 100\).

5. Тогда:

\(
\lg \left( x^2 (x+7)^2 \right) = \lg 100
\)

Отсюда:

\(
x^2 (x+7)^2 = 100
\)

6. Запишем в виде:

\(
\left( x(x+7) \right)^2 = 100
\)

7. Извлечём квадратный корень:

\(
x(x+7) = \pm 10
\)

Случай 1: \(x(x+7) = -10\)

1. Раскроем скобки:

\(
x^2 + 7x = -10
\)

2. Переносим всё в левую часть:

\(
x^2 + 7x + 10 = 0
\)

3. Найдём дискриминант:

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9
\)

4. Корни:

\(
x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}
\)

\(
x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5
\)

\(
x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\)

Случай 2: \(x(x+7) = 10\)

1. Раскроем скобки:

\(
x^2 + 7x = 10
\)

2. Переносим всё в левую часть:

\(
x^2 + 7x — 10 = 0
\)

3. Найдём дискриминант:

\(
D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49 + 40 = 89
\)

4. Корни:

\(
x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{89}}{2}
\)

Область определения

— Подлоговое выражение в \(\lg x^2\) требует \(x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0\).

— Подлоговое выражение в \(\lg (x+7)\) требует:

\(
x + 7 > 0 — x > -7
\)

Проверка корней на область определения

— Корни из первого случая: \(-5\) и \(-2\).

Оба удовлетворяют \(x \neq 0\) и \(x > -7\).

— Корни из второго случая: \(\frac{-7 \pm \sqrt{89}}{2}\).

Вычислим приблизительно:

\(
\sqrt{89} \approx 9.433
\)

Тогда:

\(
x_1 = \frac{-7 — 9.433}{2} = \frac{-16.433}{2} = -8.2165 \quad (\text{не подходит, так как } x > -7)
\)

\(
x_2 = \frac{-7 + 9.433}{2} = \frac{2.433}{2} = 1.2165 \quad (\text{подходит})
\)

Итоговый ответ:

\(
x = -5, \quad x = -2, \quad x = \frac{-7 + \sqrt{89}}{2}
\)