ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\frac{1}{4} \log_2 x^4 + \log_2 (x + 10) = 3 + \log_2 3
\)

2)
\(
\frac{1}{2} \log_6 x^2 + \log_6 (5 — x) = 1
\)

1)
\(
\frac{1}{4} \log_2 x^4 + \log_2 (x + 10) = 3 + \log_2 3;
\)

\(
\log_2 x^4 + 4 \log_2 (x + 10) = 12 + 4 \log_2 3;
\)

\(
\log_2 x^4 (x + 10)^4 = \log_2 (2^{12} \cdot 3^4);
\)

\(
(x(x + 10))^4 = 331776;
\)

Первое значение:

\(
x(x + 10) = -24;
\)

\(
x^2 + 10x + 24 = 0;
\)

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4;
\)

Второе значение:

\(
x(x + 10) = 24;
\)

\(
x^2 + 10x — 24 = 0;
\)

\(
D = 10^2 + 4 \cdot 24 = 100 + 96 = 196,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2;
\)

Область определения:

\(
x \neq 0, \quad x + 10 > 0;
\)

то есть

\(
x \neq 0, \quad x > -10;
\)

Ответ:
\(
-6; \quad -4; \quad 2.
\)

2)
\(
\frac{1}{2} \log_6 x^2 + \log_6 (5 — x) = 1;
\)

\(
\log_6 x^2 + 2 \log_6 (5 — x) = 2;
\)

\(
\log_6 x^2 (5 — x)^2 = \log_6 36;
\)

\(
(x(5 — x))^2 = 36;
\)

Первое значение:

\(
x(5 — x) = -6;
\)

\(
x^2 — 5x — 6 = 0;
\)

\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;
\)

Второе значение:

\(
x(5 — x) = 6;
\)

\(
x^2 — 5x + 6 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;
\)

Область определения:

\(
x \neq 0, \quad 5 — x > 0;
\)

то есть

\(
x \neq 0, \quad x < 5;
\)

Ответ:
\(
-1; \quad 2; \quad 3.
\)

Задача 1

Дано уравнение:

\(
\frac{1}{4} \log_2 x^4 + \log_2 (x + 10) = 3 + \log_2 3
\)

Шаг 1. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\(
\log_2 x^4 + 4 \log_2 (x + 10) = 12 + 4 \log_2 3
\)

Шаг 2. Применим свойства логарифмов:

\(
\log_2 x^4 + \log_2 (x + 10)^4 = \log_2 (2^{12}) + \log_2 3^4
\)

Поскольку сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения, то:

\(
\log_2 \left( x^4 (x + 10)^4 \right) = \log_2 \left( 2^{12} \cdot 3^4 \right)
\)

Шаг 3. Из равенства логарифмов следует равенство подлогарифмических выражений:

\(
\left( x (x + 10) \right)^4 = 2^{12} \cdot 3^4
\)

Вычислим правую часть:

\(
2^{12} = 4096, \quad 3^4 = 81, \quad 4096 \times 81 = 331776
\)

Значит:

\(
(x(x + 10))^4 = 331776
\)

Шаг 4. Возьмём четвёртую степень корня из обеих частей:

\(
|x(x + 10)| = \sqrt[4]{331776}
\)

Поскольку \(\sqrt[4]{331776} = 24\) (проверка: \(24^4 = 331776\)), то:

\(
x(x + 10) = \pm 24
\)

Рассмотрим оба случая.

Первое значение:

\(
x(x + 10) = -24
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 10x = -24
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 + 10x + 24 = 0
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4
\)

Корни уравнения:

\(
x = \frac{-10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-10 \pm 2}{2}
\)

Значит:

\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4
\)

Второе значение:

\(
x(x + 10) = 24
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 10x = 24
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 + 10x — 24 = 0
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196
\)

Корни уравнения:

\(
x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-10 \pm 14}{2}
\)

Значит:

\(
x_1 = \frac{-10 — 14}{2} = -12, \quad x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = 2
\)

Шаг 5. Область определения логарифмов:

— Подлогарифмические выражения должны быть положительны:

\(
x^4 > 0 — x \neq 0
\)

\(
x + 10 > 0 — x > -10
\)

Шаг 6. Проверяем корни на область определения:

— \(x = -12\) не подходит, так как \(-12 \not> -10\).
— \(x = -6\) подходит.
— \(x = -4\) подходит.
— \(x = 2\) подходит.

Ответ:

\(
x = -6, \quad x = -4, \quad x = 2
\)

Задача 2

Дано уравнение:

\(
\frac{1}{2} \log_6 x^2 + \log_6 (5 — x) = 1
\)

Шаг 1. Умножим обе части уравнения на 2:

\(
\log_6 x^2 + 2 \log_6 (5 — x) = 2
\)

Шаг 2. Используем свойства логарифмов:

\(
\log_6 x^2 + \log_6 (5 — x)^2 = \log_6 36
\)

Поскольку сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

\(
\log_6 \left( x^2 (5 — x)^2 \right) = \log_6 36
\)

Шаг 3. Приравниваем подлогарифмические выражения:

\(
\left( x (5 — x) \right)^2 = 36
\)

Берём квадратный корень:

\(
x (5 — x) = \pm 6
\)

Рассмотрим оба случая.

Первое значение:

\(
x(5 — x) = -6
\)

Раскроем скобки:

\(
5x — x^2 = -6
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 — 5x — 6 = 0
\)

Шаг 4. Найдём дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49
\)

Шаг 5. Найдём корни:

\(
x = \frac{5 \pm 7}{2}
\)

Значит:

\(
x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6
\)

Второе значение:

\(
x(5 — x) = 6
\)

Раскроем скобки:

\(
5x — x^2 = 6
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 — 5x + 6 = 0
\)

Шаг 6. Найдём дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1
\)

Шаг 7. Найдём корни:

\(
x = \frac{5 \pm 1}{2}
\)

Значит:

\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3
\)

Шаг 8. Область определения логарифмов:

— Подлогарифмические выражения должны быть положительны:

\(
x^2 > 0 — x \neq 0
\)

\(
5 — x > 0 — x < 5
\)

Шаг 9. Проверяем корни на область определения:

— \(x = -1\) подходит (так как \(-1 < 5\) и \(-1 \neq 0\))
— \(x = 6\) не подходит (так как \(6 \not< 5\))
— \(x = 2\) подходит
— \(x = 3\) подходит

Ответ:

\(
x = -1, \quad x = 2, \quad x = 3
\)