ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad (\log_3 x^3)^2 + 4\log_3 x — 5 = 0; \\
2) & \quad \lg (10x^2) \cdot \lg x = 1; \\
3) & \quad \log_4 x^2 \cdot \log_4 \left( \frac{16}{x} \right) = 2; \\
4) & \quad \log_2 (4x) \cdot \log_2 (0.25x) = 5; \\
5) & \quad \lg^2 (100x) + 2\lg x = 20; \\
6) & \quad (\log_5 (5x))^2 + \log_5 \left( \frac{x}{25} \right) = 3; \\
7) & \quad \lg \lg x + \lg (\lg x^2 — 1) = 0; \\
8) & \quad 2\lg (\lg x) = \lg (2\lg x + 8).
\end{align*}
\)

1)
\(
\log_3^2 x^3 + 4 \log_3 x — 5 = 0;
\)

\(
9 \log_3^2 x + 4 \log_3 x — 5 = 0;
\)

\(
d = 4^2 + 4 \cdot 9 \cdot 5 = 16 + 180 = 196,
\)

тогда:

\(
\log_3 x_1 = \frac{-4 — 14}{2 \cdot 9} = -1, \quad x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3};
\)

\(
\log_3 x_2 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{5}{9}, \quad x_2 = 3^{\frac{5}{9}};
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{3}; \quad 3^{\frac{5}{9}}.
\)

2)
\(
\lg (10 x^2) \cdot \lg x = 1;
\)

\(
(\lg 10 + \lg x^2) \cdot \lg x = 1;
\)

\(
(1 + 2 \lg x) \cdot \lg x — 1 = 0;
\)

\(
2 \lg^2 x + \lg x — 1 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:

\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_1 = 10^{-1} = 0{,}1;
\)

\(
\lg x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10};
\)

Ответ:
\(
0{,}1; \quad \sqrt{10}.
\)

3)
\(
\log_4 x^2 \cdot \log_4 \frac{16}{x} = 2;
\)

\(
2 \log_4 x \cdot (\log_4 16 — \log_4 x) = 2;
\)

\(
2 \log_4 x \cdot (2 — \log_4 x) = 2;
\)

\(
4 \log_4 x — 2 \log_4^2 x = 2;
\)

\(
\log_4^2 x — 2 \log_4 x + 1 = 0;
\)

\(
(\log_4 x — 1)^2 = 0;
\)

\(
\log_4 x = 1;
\)

\(
x = 4^1 = 4;
\)

Ответ: 4.

4)
\(
\log_2 (4x) \cdot \log_2 (0.25x) = 5;
\)

\(
(\log_2 4 + \log_2 x)(\log_2 x — \log_2 4) = 5;
\)

\(
(\log_2 x + 2)(\log_2 x — 2) = 5;
\)

\(
\log_2^2 x — 4 = 5;
\)

\(
\log_2^2 x = 9;
\)

\(
\log_2 x = \pm 3,
\)

\(
x_1 = 2^{-3} = \frac{1}{8};
\)

\(
x_2 = 2^3 = 8;
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{8}; \quad 8.
\)

5)
\(
\lg^2 (100x) + 2 \lg x = 20;
\)

\(
(\lg 100 + \lg x)^2 + 2 \lg x = 20;
\)

\(
(2 + \lg x)^2 + 2 \lg x = 20;
\)

\(
4 + 4 \lg x + \lg^2 x + 2 \lg x = 20;
\)

\(
\lg^2 x + 6 \lg x — 16 = 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 16 = 36 + 64 = 100,
\)

тогда:

\(
\lg x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8, \quad x_1 = 10^{-8};
\)

\(
\lg x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2, \quad x_2 = 10^2 = 100;
\)

Ответ:
\(
10^{-8}; \quad 100.
\)

6)
\(
\log_5^2 (5x) + \log_5 \frac{x}{25} = 3;
\)

\(
(\log_5 5 + \log_5 x)^2 + (\log_5 x — \log_5 25) = 3;
\)

\(
(1 + \log_5 x)^2 + \log_5 x — 2 = 3;
\)

\(
1 + 2 \log_5 x + \log_5^2 x + \log_5 x = 5;
\)

\(
\log_5^2 x + 3 \log_5 x — 4 = 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,
\)

тогда:

\(
\log_5 x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_1 = 5^{-4} = \frac{1}{625};
\)

\(
\log_5 x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = 5^1 = 5;
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{625}; \quad 5.
\)

7)
\(
\lg(\lg x) + \lg(\lg x^2 — 1) = 0;
\)

\(
\lg(\lg x \cdot (2 \lg x — 1)) = \lg 1;
\)

\(
2 \lg^2 x — \lg x = 1;
\)

\(
2 \lg^2 x — \lg x — 1 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:

\(
\lg x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10};
\)

\(
\lg x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1, \quad x_2 = 10^1 = 10;
\)

Область определения:
\(
\lg x > 0, \quad 2 \lg x — 1 > 0;
\)

то есть:
\(
\lg x > 0, \quad \lg x > \frac{1}{2};
\)

Ответ:
\(
10.
\)

8)
\(
2 \lg(\lg x) = \lg(2 \lg x + 8);
\)

\(
\lg(\lg^2 x) = \lg(2 \lg x + 8);
\)

\(
\lg^2 x = 2 \lg x + 8;
\)

\(
\lg^2 x — 2 \lg x — 8 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)

тогда:

\(
\lg x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_1 = 10^{-2} = 0.01;
\)

\(
\lg x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = 10^4 = 10000;
\)

Область определения:
\(
\lg x > 0, \quad 2 \lg x + 8 > 0;
\)

то есть:
\(
\lg x > 0, \quad \lg x > -4;
\)

Ответ:
\(
10000.
\)

1)
Дано уравнение:
\(
\log_3^2 x^3 + 4 \log_3 x — 5 = 0;
\)

Перепишем первое слагаемое:
\(
\log_3^2 x^3 = (3 \log_3 x)^2 = 9 \log_3^2 x,
\)

тогда уравнение примет вид:
\(
9 \log_3^2 x + 4 \log_3 x — 5 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \log_3 x,
\)
тогда уравнение становится квадратным:
\(
9 t^2 + 4 t — 5 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
d = 4^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 16 + 180 = 196.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-4 — 14}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1,
\)
\(
t_2 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}.
\)

Вернемся к переменной \(x\):
\(
x_1 = 3^{t_1} = 3^{-1} = \frac{1}{3},
\)
\(
x_2 = 3^{t_2} = 3^{\frac{5}{9}}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{3}; \quad 3^{\frac{5}{9}}.
\)

2)
Дано уравнение:
\(
\lg (10 x^2) \cdot \lg x = 1.
\)

Раскроем логарифм:
\(
\lg (10 x^2) = \lg 10 + \lg x^2 = 1 + 2 \lg x.
\)

Подставим в уравнение:
\(
(1 + 2 \lg x) \cdot \lg x = 1,
\)
или
\(
2 \lg^2 x + \lg x — 1 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \lg x,
\)
получаем квадратное уравнение:
\(
2 t^2 + t — 1 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1,
\)
\(
t_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

Вернемся к переменной \(x\):
\(
x_1 = 10^{t_1} = 10^{-1} = 0.1,
\)
\(
x_2 = 10^{t_2} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}.
\)

Ответ:
\(
0.1; \quad \sqrt{10}.
\)

3)
Дано уравнение:
\(
\log_4 x^2 \cdot \log_4 \frac{16}{x} = 2.
\)

Раскроем второй логарифм:
\(
\log_4 \frac{16}{x} = \log_4 16 — \log_4 x = 2 — \log_4 x.
\)

Подставим:
\(
\log_4 x^2 \cdot (2 — \log_4 x) = 2.
\)

Так как
\(
\log_4 x^2 = 2 \log_4 x,
\)
получаем:
\(
2 \log_4 x \cdot (2 — \log_4 x) = 2.
\)

Раскроем скобки:
\(
4 \log_4 x — 2 \log_4^2 x = 2.
\)

Перенесем все в одну сторону:
\(
-2 \log_4^2 x + 4 \log_4 x — 2 = 0,
\)
или умножим на \(-1\) и разделим на 2:
\(
\log_4^2 x — 2 \log_4 x + 1 = 0.
\)

Это квадратное уравнение:
\(
(\log_4 x — 1)^2 = 0,
\)
откуда
\(
\log_4 x = 1.
\)

Тогда
\(
x = 4^1 = 4.
\)

Ответ:
\(
4.
\)

4)
Дано уравнение:
\(
\log_2 (4x) \cdot \log_2 (0.25x) = 5.
\)

Раскроем логарифмы:
\(
\log_2 (4x) = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x,
\)
\(
\log_2 (0.25x) = \log_2 0.25 + \log_2 x = -2 + \log_2 x,
\)
так как \(0.25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\).

Подставим:
\(
(2 + \log_2 x)(-2 + \log_2 x) = 5.
\)

Раскроем скобки:
\(
(\log_2 x)^2 — 4 = 5.
\)

Перенесем 5 в левую часть:
\(
(\log_2 x)^2 = 9.
\)

Извлечем корень:
\(
\log_2 x = \pm 3.
\)

Найдем \(x\):
\(
x_1 = 2^{-3} = \frac{1}{8},
\)
\(
x_2 = 2^{3} = 8.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{8}; \quad 8.
\)

5)
Дано уравнение:
\(
\lg^2 (100x) + 2 \lg x = 20.
\)

Раскроем квадрат:
\(
(\lg 100 + \lg x)^2 + 2 \lg x = 20.
\)

Так как \(\lg 100 = 2\), получаем:
\(
(2 + \lg x)^2 + 2 \lg x = 20.
\)

Раскроем квадрат:
\(
4 + 4 \lg x + \lg^2 x + 2 \lg x = 20.
\)

Сложим подобные:
\(
\lg^2 x + 6 \lg x + 4 = 20.
\)

Перенесем 20 в левую часть:
\(
\lg^2 x + 6 \lg x — 16 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \lg x,
\)
тогда:
\(
t^2 + 6 t — 16 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8,
\)
\(
t_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2.
\)

Вернемся к \(x\):
\(
x_1 = 10^{-8},
\)
\(
x_2 = 10^{2} = 100.
\)

Ответ:
\(
10^{-8}; \quad 100.
\)

6)
Дано уравнение:
\(
\log_5^2 (5x) + \log_5 \frac{x}{25} = 3.
\)

Раскроем логарифмы:
\(
\log_5 (5x) = \log_5 5 + \log_5 x = 1 + \log_5 x,
\)
\(
\log_5 \frac{x}{25} = \log_5 x — \log_5 25 = \log_5 x — 2,
\)
так как \(25 = 5^2\).

Подставим:
\(
(1 + \log_5 x)^2 + \log_5 x — 2 = 3.
\)

Раскроем квадрат:
\(
1 + 2 \log_5 x + \log_5^2 x + \log_5 x — 2 = 3.
\)

Сложим подобные:
\(
\log_5^2 x + 3 \log_5 x — 1 = 3.
\)

Перенесем 3 в левую часть:
\(
\log_5^2 x + 3 \log_5 x — 4 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \log_5 x,
\)
тогда:
\(
t^2 + 3 t — 4 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4,
\)
\(
t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Вернемся к \(x\):
\(
x_1 = 5^{-4} = \frac{1}{625},
\)
\(
x_2 = 5^{1} = 5.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{625}; \quad 5.
\)

7)
Дано уравнение:
\(
\lg(\lg x) + \lg(\lg x^2 — 1) = 0.
\)

Объединим логарифмы:
\(
\lg(\lg x \cdot (\lg x^2 — 1)) = 0,
\)
что эквивалентно:
\(
\lg(\lg x \cdot (2 \lg x — 1)) = \lg 1,
\)
так как \(\lg x^2 = 2 \lg x\).

Отсюда:
\(
\lg x \cdot (2 \lg x — 1) = 1.
\)

Раскроем скобки:
\(
2 \lg^2 x — \lg x = 1.
\)

Перенесем 1 в левую часть:
\(
2 \lg^2 x — \lg x — 1 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \lg x,
\)
тогда:
\(
2 t^2 — t — 1 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2},
\)
\(
t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1.
\)

Вернемся к \(x\):
\(
x_1 = 10^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{10},
\)
\(
x_2 = 10^{1} = 10.
\)

Область определения:
\(
\lg x > 0,
\)
\(
2 \lg x — 1 > 0 — \lg x > \frac{1}{2}.
\)

Из двух корней только \(x = 10\) удовлетворяет области определения.

Ответ:
\(
10.
\)

8)
Дано уравнение:
\(
2 \lg(\lg x) = \lg(2 \lg x + 8).
\)

Перепишем левую часть:
\(
\lg(\lg^2 x) = \lg(2 \lg x + 8).
\)

Отсюда:
\(
\lg^2 x = 2 \lg x + 8.
\)

Перенесем все в левую часть:
\(
\lg^2 x — 2 \lg x — 8 = 0.
\)

Обозначим
\(
t = \lg x,
\)
тогда:
\(
t^2 — 2 t — 8 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)

Найдем корни:
\(
t_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2,
\)
\(
t_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.
\)

Вернемся к \(x\):
\(
x_1 = 10^{-2} = 0.01,
\)
\(
x_2 = 10^{4} = 10000.
\)

Область определения:
\(
\lg x > 0,
\)
\(
2 \lg x + 8 > 0 — \lg x > -4.
\)

Из двух корней только \(x = 10000\) удовлетворяет области определения.

Ответ:
\(
10000.
\)