ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнения:

1)
\(
3 \lg^2 (x^2) — \lg (x) — 1 = 0;
\)

2)
\(
\log_3 (x^2) \cdot \log_3 \left(\frac{x}{27}\right) + 4 = 0;
\)

3)
\(
\log_7 (7x) \cdot \log_7 \left(\frac{x}{7}\right) = \log_7 (x^2) — 1;
\)

4)
\(
\lg^2 (10x) + \lg (10x) = 6 + 3 \lg (x);
\)

5)
\(
\left(\log_6 (36x)\right)^2 + \log_6 \left(\frac{x^2}{216}\right) = 8;
\)

6)
\(
\log_5 (\log_2 (x)) + \log_5 \left(\log_2 (x^3) — 14\right) = 1.
\)

1)
\(3 \lg^2 x^2 — \lg x — 1 = 0;\)
\(12 \lg^2 x — \lg x — 1 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-7}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{4}, \quad x_1 = 10^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{10}};
\)
\(
\lg x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{\sqrt[4]{10}}; \quad \sqrt[3]{10}.
\)

2)
\(\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{27} + 4 = 0;\)
\(2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — \log_3 27) + 4 = 0;\)
\(2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 3) + 4 = 0;\)
\(2 \log_3^2 x — 6 \log_3 x + 4 = 0;\)
\(\log_3^2 x — 3 \log_3 x + 2 = 0;\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,\) тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_1 = 3^1 = 3;
\)
\(
\log_3 x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = 3^2 = 9.
\)

Ответ:
\(
3; \quad 9.
\)

3)
\(
\log_7(7x) \cdot \log_7 \frac{x}{7} = \log_7 x^2 — 1;
\)
\(
(\log_7 7 + \log_7 x)(\log_7 x — \log_7 7) = 2 \log_7 x — 1;
\)
\(
(1 + \log_7 x)(\log_7 x — 1) = 2 \log_7 x — 1;
\)
\(
\log_7^2 x — 1 = 2 \log_7 x — 1;
\)
\(
\log_7^2 x — 2 \log_7 x = 0;
\)
\(
\log_7 x \cdot (\log_7 x — 2) = 0;
\)
\(
\log_7 x_1 = 0, \quad x_1 = 7^0 = 1;
\)
\(
\log_7 x_2 = 2, \quad x_2 = 7^2 = 49.
\)

Ответ:
\(
1; \quad 49.
\)

4)
\(
\lg^2(10x) + \lg(10x) = 6 + 3 \lg x;
\)
\(
(\lg 10 + \lg x)^2 + (\lg 10 + \lg x) = 6 + 3 \lg x;
\)
\(
(1 + \lg x)^2 + (1 + \lg x) = 6 + 3 \lg x;
\)
\(
1 + 2 \lg x + \lg^2 x + 1 + \lg x = 6 + 3 \lg x;
\)
\(
\lg^2 x + 3 \lg x + 2 = 6 + 3 \lg x;
\)
\(
\lg^2 x + 3 \lg x + 2 — 6 — 3 \lg x = 0;
\)
\(
\lg^2 x — 4 = 0;
\)
\(
\lg^2 x = 4;
\)
\(
\lg x_1 = -2, \quad x_1 = 10^{-2} = 0.01;
\)
\(
\lg x_2 = 2, \quad x_2 = 10^2 = 100.
\)

Ответ:
\(
0.01; \quad 100.
\)

5)
\(
\log_6^2(36x) + \log_6 \frac{x^2}{216} = 8;
\)
\(
(\log_6 36 + \log_6 x)^2 + (\log_6 x^2 — \log_6 216) = 8;
\)
\(
(2 + \log_6 x)^2 + (2 \log_6 x — 3) = 8;
\)
\(
4 + 4 \log_6 x + \log_6^2 x + 2 \log_6 x — 3 = 8;
\)
\(
\log_6^2 x + 6 \log_6 x — 7 = 0;
\)
\(
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64, \quad \text{тогда:}
\)
\(
\log_6 x_1 = \frac{-6 — 8}{2} = -7, \quad x_1 = 6^{-7};
\)
\(
\log_6 x_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1, \quad x_2 = 6^1 = 6;
\)

Ответ:
\(
6^{-7}; \quad 6.
\)

6)
\(
\log_5(\log_2 x) + \log_5(\log_2 x^3 — 14) = 1;
\)
\(
\log_5\left(\log_2 x \cdot (3 \log_2 x — 14)\right) = \log_5 5;
\)
\(
3 \log_2^2 x — 14 \log_2 x = 5;
\)
\(
3 \log_2^2 x — 14 \log_2 x — 5 = 0;
\)
\(
D = 14^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 196 + 60 = 256, \quad \text{тогда:}
\)
\(
\log_2 x_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}, \quad x_1 = 2^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}};
\)
\(
\log_2 x_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = 5, \quad x_2 = 2^5 = 32;
\)

Область определения:
\(
\log_2 x > 0, \quad 3 \log_2 x — 14 > 0;
\)
\(
\log_2 x > 0, \quad \log_2 x > \frac{14}{3};
\)

Ответ:
\(
32.
\)

1)

Дано уравнение:
\(
3 \lg^2 x^2 — \lg x — 1 = 0.
\)

Так как \(\lg x^2 = 2 \lg x\), перепишем уравнение:
\(
3 (2 \lg x)^2 — \lg x — 1 = 0,
\)
то есть
\(
3 \cdot 4 \lg^2 x — \lg x — 1 = 0,
\)
или
\(
12 \lg^2 x — \lg x — 1 = 0.
\)

Обозначим \(t = \lg x\). Тогда уравнение становится:
\(
12 t^2 — t — 1 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49.
\)

Корни уравнения:
\(
t_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 12} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4},
\)
\(
t_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}.
\)

Возвращаемся к переменной \(x\):
\(
x_1 = 10^{t_1} = 10^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{10}},
\)
\(
x_2 = 10^{t_2} = 10^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{10}.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{\sqrt[4]{10}}, \quad \sqrt[3]{10}.
\)

2)

Дано уравнение:
\(
\log_3 x^2 \cdot \log_3 \frac{x}{27} + 4 = 0.
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\log_3 x^2 = 2 \log_3 x,
\)
\(
\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x — \log_3 27 = \log_3 x — 3.
\)

Подставляем:
\(
2 \log_3 x \cdot (\log_3 x — 3) + 4 = 0,
\)
раскрываем скобки:
\(
2 (\log_3^2 x — 3 \log_3 x) + 4 = 0,
\)
\(
2 \log_3^2 x — 6 \log_3 x + 4 = 0.
\)

Разделим уравнение на 2:
\(
\log_3^2 x — 3 \log_3 x + 2 = 0.
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\). Тогда:
\(
t^2 — 3 t + 2 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1,
\)
\(
t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
x_1 = 3^{t_1} = 3^1 = 3,
\)
\(
x_2 = 3^{t_2} = 3^2 = 9.
\)

Ответ:
\(
3, \quad 9.
\)

3)

Дано уравнение:
\(
\log_7(7x) \cdot \log_7 \frac{x}{7} = \log_7 x^2 — 1.
\)

Раскроем логарифмы:
\(
(\log_7 7 + \log_7 x)(\log_7 x — \log_7 7) = 2 \log_7 x — 1.
\)

Так как \(\log_7 7 = 1\), получаем:
\(
(1 + \log_7 x)(\log_7 x — 1) = 2 \log_7 x — 1.
\)

Раскроем левую часть:
\(
\log_7^2 x — 1 = 2 \log_7 x — 1.
\)

Перенесём все в одну сторону:
\(
\log_7^2 x — 2 \log_7 x = 0.
\)

Вынесем общий множитель:
\(
\log_7 x (\log_7 x — 2) = 0.
\)

Отсюда:
\(
\log_7 x_1 = 0 — x_1 = 7^0 = 1,
\)
\(
\log_7 x_2 = 2 — x_2 = 7^2 = 49.
\)

Ответ:
\(
1, \quad 49.
\)

4)

Дано уравнение:
\(
\lg^2(10x) + \lg(10x) = 6 + 3 \lg x.
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\lg(10x) = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x.
\)

Подставим:
\(
(1 + \lg x)^2 + (1 + \lg x) = 6 + 3 \lg x.
\)

Раскроем левую часть:
\(
1 + 2 \lg x + \lg^2 x + 1 + \lg x = 6 + 3 \lg x,
\)
\(
\lg^2 x + 3 \lg x + 2 = 6 + 3 \lg x.
\)

Перенесём все в одну сторону:
\(
\lg^2 x + 3 \lg x + 2 — 6 — 3 \lg x = 0,
\)
\(
\lg^2 x — 4 = 0.
\)

Отсюда:
\(
\lg^2 x = 4,
\)
\(
\lg x = \pm 2.
\)

Рассмотрим оба случая:
\(
\lg x_1 = -2 — x_1 = 10^{-2} = 0.01,
\)
\(
\lg x_2 = 2 — x_2 = 10^2 = 100.
\)

Ответ:
\(
0.01, \quad 100.
\)

5)

Дано уравнение:
\(
\log_6^2(36x) + \log_6 \frac{x^2}{216} = 8.
\)

Раскроем логарифмы:
\(
\log_6(36x) = \log_6 36 + \log_6 x = 2 + \log_6 x,
\)
\(
\log_6 \frac{x^2}{216} = \log_6 x^2 — \log_6 216 = 2 \log_6 x — 3.
\)

Подставим:
\(
(2 + \log_6 x)^2 + (2 \log_6 x — 3) = 8.
\)

Раскроем скобки:
\(
4 + 4 \log_6 x + \log_6^2 x + 2 \log_6 x — 3 = 8,
\)
\(
\log_6^2 x + 6 \log_6 x + 1 = 8,
\)
\(
\log_6^2 x + 6 \log_6 x — 7 = 0.
\)

Обозначим \(t = \log_6 x\). Тогда:
\(
t^2 + 6 t — 7 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-6 — 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7,
\)
\(
t_2 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
x_1 = 6^{-7},
\)
\(
x_2 = 6^1 = 6.
\)

Ответ:
\(
6^{-7}, \quad 6.
\)

6)

Дано уравнение:
\(
\log_5(\log_2 x) + \log_5(\log_2 x^3 — 14) = 1.
\)

Объединим логарифмы с помощью свойства суммы:
\(
\log_5 \left( \log_2 x \cdot (\log_2 x^3 — 14) \right) = \log_5 5.
\)

Так как \(\log_5 a = \log_5 b — a = b\), получаем:
\(
\log_2 x \cdot (\log_2 x^3 — 14) = 5.
\)

Используем, что \(\log_2 x^3 = 3 \log_2 x\):
\(
\log_2 x \cdot (3 \log_2 x — 14) = 5,
\)
\(
3 \log_2^2 x — 14 \log_2 x = 5,
\)
\(
3 \log_2^2 x — 14 \log_2 x — 5 = 0.
\)

Обозначим \(t = \log_2 x\). Тогда:
\(
3 t^2 — 14 t — 5 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256.
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},
\)
\(
t_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5.
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
x_1 = 2^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}},
\)
\(
x_2 = 2^5 = 32.
\)

Проверим область определения:

— \(\log_2 x > 0 — x > 1.\)
— \(\log_2 x^3 — 14 = 3 \log_2 x — 14 > 0 — \log_2 x > \frac{14}{3} \approx 4.666…\)
— Значит, \(\log_2 x > \frac{14}{3}\) — более строгая область.

Из корней подходит только тот, у которого:
\(
t = \log_2 x > \frac{14}{3}.
\)

Из корней \(t_1 = -\frac{1}{3}\) не подходит, а \(t_2 = 5 > \frac{14}{3}\) подходит.

Ответ:
\(
32.
\)