ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad x^{\log_5 x} = 5; \\
2) & \quad x^{\lg x + 2} = 1000; \\
3) & \quad x^{\log_3 x — 3} = \frac{1}{9}; \\
4) & \quad x^{\log_6 x} = 216x^2.
\end{align*}
\)

1) \(x^{\log_5 x} = 5;\)
\(\log_5 x^{\log_5 x} = \log_5 5;\)
\(\log_5 x \cdot \log_5 x = 1;\)
\(\log_5^2 x = 1;\)

\(
\log_5 x_1 = -1, \quad x_1 = \frac{1}{5};
\)
\(
\log_5 x_2 = 1, \quad x_2 = 5;
\)

Ответ: \(\frac{1}{5}; \quad 5.\)

2) \(x^{\lg x + 2} = 1000;\)
\(\lg x^{\lg x + 2} = \lg 1000;\)
\((\lg x + 2) \cdot \lg x = 3;\)
\(
\lg^2 x + 2 \lg x — 3 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_1 = 10^{-3} = 0.001;
\)
\(
\lg x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad x_2 = 10^1 = 10;
\)

Ответ: \(0.001; \quad 10.\)

3) \(x^{\log_3 x — 3} = \frac{1}{9};\)
\(
\log_3 x^{\log_3 x — 3} = \log_3 \frac{1}{9};
\)
\(
(\log_3 x — 3) \cdot \log_3 x = -2;
\)
\(
\log_3^2 x — 3 \log_3 x + 2 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)

тогда:
\(
\log_3 x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_1 = 3^1 = 3;
\)
\(
\log_3 x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad x_2 = 3^2 = 9;
\)

Ответ: \(3; \quad 9.\)

4) \(x^{\log_6 x} = 216 x^2;\)
\(
\log_6 x^{\log_6 x} = \log_6 (216 x^2);
\)
\(
\log_6 x \cdot \log_6 x = \log_6 216 + \log_6 x^2;
\)
\(
\log_6^2 x — 2 \log_6 x — 3 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
\log_6 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_1 = 6^{-1} = \frac{1}{6};
\)
\(
\log_6 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = 6^3 = 216;
\)

Ответ: \(\frac{1}{6}; \quad 216.\)

1) Решение уравнения
\(
x^{\log_5 x} = 5
\)

Применим логарифм по основанию 5 к обеим частям уравнения:
\(
\log_5 \left( x^{\log_5 x} \right) = \log_5 5
\)

По свойству логарифма степени:
\(
(\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = 1
\)
то есть
\(
(\log_5 x)^2 = 1
\)

Получаем два варианта:
\(
\log_5 x = 1 \quad \text{или} \quad \log_5 x = -1
\)

Если \(\log_5 x = 1\), то
\(
x = 5^1 = 5
\)

Если \(\log_5 x = -1\), то
\(
x = 5^{-1} = \frac{1}{5}
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{5}, \quad x = 5
\)

2) Решение уравнения
\(
x^{\lg x + 2} = 1000
\)

Воспользуемся десятичным логарифмом (обозначается \(\lg\)) и возьмём логарифм обеих частей уравнения:
\(
\lg \left( x^{\lg x + 2} \right) = \lg 1000
\)

По свойству логарифма степени:
\(
(\lg x + 2) \cdot \lg x = \lg 1000
\)

Известно, что
\(
\lg 1000 = 3
\)

Раскроем скобки:
\(
(\lg x)^2 + 2 \lg x = 3
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
(\lg x)^2 + 2 \lg x — 3 = 0
\)

Обозначим \(t = \lg x\), тогда уравнение принимает вид:
\(
t^2 + 2t — 3 = 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Найдём корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 — 4}{2} = -3
\)
\(
t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\)

Вернёмся к \(x\):
\(
\lg x_1 = -3 — x_1 = 10^{-3} = 0{,}001
\)
\(
\lg x_2 = 1 — x_2 = 10^{1} = 10
\)

Ответ:
\(
x = 0{,}001, \quad x = 10
\)

3) Решение уравнения
\(
x^{\log_3 x — 3} = \frac{1}{9}
\)

Берём логарифм по основанию 3:
\(
\log_3 \left( x^{\log_3 x — 3} \right) = \log_3 \frac{1}{9}
\)

По свойству логарифма степени:
\(
(\log_3 x — 3) \cdot \log_3 x = \log_3 9^{-1}
\)

Поскольку
\(
\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}
\)
то
\(
\log_3 \frac{1}{9} = -2
\)

Раскроем скобки:
\(
(\log_3 x)^2 — 3 \log_3 x = -2
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
(\log_3 x)^2 — 3 \log_3 x + 2 = 0
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\), тогда уравнение:
\(
t^2 — 3t + 2 = 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\)

Найдём корни:
\(
t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1
\)
\(
t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\)

Вернёмся к \(x\):
\(
\log_3 x_1 = 1 — x_1 = 3^1 = 3
\)
\(
\log_3 x_2 = 2 — x_2 = 3^2 = 9
\)

Ответ:
\(
x = 3, \quad x = 9
\)

4) Решение уравнения
\(
x^{\log_6 x} = 216 x^2
\)

Берём логарифм по основанию 6:
\(
\log_6 \left( x^{\log_6 x} \right) = \log_6 (216 x^2)
\)

По свойству логарифма степени:
\(
\log_6 x \cdot \log_6 x = \log_6 216 + \log_6 x^2
\)

Раскроем:
\(
(\log_6 x)^2 = \log_6 216 + 2 \log_6 x
\)

Переносим все в левую часть:
\(
(\log_6 x)^2 — 2 \log_6 x — \log_6 216 = 0
\)

Вычислим \(\log_6 216\). Поскольку
\(
216 = 6^3
\)
то
\(
\log_6 216 = 3
\)

Подставляем:
\(
(\log_6 x)^2 — 2 \log_6 x — 3 = 0
\)

Обозначим \(t = \log_6 x\), тогда:
\(
t^2 — 2t — 3 = 0
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Находим корни:
\(
t_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1
\)
\(
t_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\log_6 x_1 = -1 — x_1 = 6^{-1} = \frac{1}{6}
\)
\(
\log_6 x_2 = 3 — x_2 = 6^{3} = 216
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{6}, \quad x = 216
\)