ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^{\log_3 x} = 81 \)

2) \( x^{\lg x} = 100x \)

3) \( x^{(\log_2 x — 2)} = 256 \)

4) \( \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\lg x} = 10^{6 + \lg x} \)

1) \(x^{\log_3 x} = 81\);
\(\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 81\);
\(\log_3 x \cdot \log_3 x = 4\);
\(\log_3^2 x = 4\);

\(\log_3 x_1 = -2, \quad x_1 = \frac{1}{9};\)
\(\log_3 x_2 = 2, \quad x_2 = 9;\)

Ответ: \(\frac{1}{9}; \quad 9.\)

2) \(x^{\lg x} = 100x;\)
\(\lg x^{\lg x} = \lg (100x);\)
\(\lg x \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x;\)
\(\lg^2 x — \lg x — 2 = 0;\)
\(D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,\) тогда:

\(\lg x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_1 = 10^{-1} = 0,1;\)
\(\lg x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = 10^{2} = 100;\)

Ответ: \(0,1; \quad 100.\)

3) \(x^{\log_2 x — 2} = 256;\)
\(\log_2 x^{\log_2 x — 2} = \log_2 256;\)
\((\log_2 x — 2) \cdot \log_2 x = 8;\)
\(\log_2^2 x — 2 \log_2 x — 8 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,\) тогда:
\(
\log_2 x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad x_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4};
\)
\(
\log_2 x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = 2^4 = 16;
\)

4) \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\lg x} = 10^{6 + \lg x};\)
\(\lg x^{\frac{1}{3} \lg x} = \lg 10^{6 + \lg x};\)
\(\frac{1}{3} \lg x \cdot \lg x = 6 + \lg x;\)
\(\frac{1}{3} \lg^2 x — \lg x — 6 = 0;\)
\( \Rightarrow \lg^2 x — 3 \lg x — 18 = 0;\)
\(D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,\) тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3, \quad x_1 = 10^{-3};
\)
\(
\lg x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6, \quad x_2 = 10^6;
\)

Ответ: \(0{,}001; \quad 1\,000\,000.\)

1) Уравнение:
\( x^{\log_3 x} = 81 \)

Перепишем уравнение, взяв логарифм по основанию 3 от обеих частей:
\(
\log_3 \left( x^{\log_3 x} \right) = \log_3 81
\)

По свойству логарифмов:
\(
(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = \log_3 81
\)

Число 81 можно представить как степень тройки:
\(
81 = 3^4 — \log_3 81 = 4
\)

Тогда уравнение превращается в:
\(
(\log_3 x)^2 = 4
\)

Решаем квадратное уравнение относительно \(\log_3 x\):
\(
\log_3 x = \pm 2
\)

Отсюда получаем два значения \(x\):
\(
\log_3 x = 2 — x = 3^2 = 9
\)
\(
\log_3 x = -2 — x = 3^{-2} = \frac{1}{9}
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{9}, \quad x = 9
\)

2) Уравнение:
\( x^{\lg x} = 100x \)

Взяв десятичный логарифм (обозначается \(\lg\)) обеих частей:
\(
\lg \left( x^{\lg x} \right) = \lg (100x)
\)

Применяем свойства логарифмов:
\(
(\lg x) \cdot (\lg x) = \lg 100 + \lg x
\)

Известно, что \(\lg 100 = 2\), тогда уравнение:
\(
(\lg x)^2 = 2 + \lg x
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
(\lg x)^2 — \lg x — 2 = 0
\)

Обозначим \(t = \lg x\), тогда:
\(
t^2 — t — 2 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)
\(
t_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\lg x = t_1 = -1 — x = 10^{-1} = 0.1
\)
\(
\lg x = t_2 = 2 — x = 10^{2} = 100
\)

Ответ:
\(
x = 0.1, \quad x = 100
\)

3) Уравнение:
\(
x^{\log_2 x — 2} = 256
\)

Взятие логарифма по основанию 2:
\(
\log_2 \left( x^{\log_2 x — 2} \right) = \log_2 256
\)

По свойству логарифмов:
\(
(\log_2 x — 2) \cdot \log_2 x = \log_2 256
\)

Число 256 — степень двойки:
\(
256 = 2^8 — \log_2 256 = 8
\)

Раскрываем скобки:
\(
(\log_2 x)^2 — 2 \log_2 x = 8
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
(\log_2 x)^2 — 2 \log_2 x — 8 = 0
\)

Обозначим \(t = \log_2 x\), тогда:
\(
t^2 — 2t — 8 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\log_2 x = -2 — x = 2^{-2} = \frac{1}{4}
\)
\(
\log_2 x = 4 — x = 2^{4} = 16
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{4}, \quad x = 16
\)

4) Уравнение:
\(
\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\lg x} = 10^{6 + \lg x}
\)

Перепишем левую часть:
\(
\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\lg x} = x^{\frac{1}{3} \lg x}
\)

Берём десятичный логарифм обеих частей:
\(
\lg \left(x^{\frac{1}{3} \lg x}\right) = \lg \left(10^{6 + \lg x}\right)
\)

Применяем свойства логарифмов:
\(
\frac{1}{3} \lg x \cdot \lg x = 6 + \lg x
\)

Обозначим \(t = \lg x\), тогда:
\(
\frac{1}{3} t^2 = 6 + t
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
\frac{1}{3} t^2 — t — 6 = 0
\)

Умножаем на 3 для удобства:
\(
t^2 — 3t — 18 = 0
\)

Вычисляем дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6
\)

Возвращаемся к \(x\):
\(
\lg x = -3 — x = 10^{-3} = 0.001
\)
\(
\lg x = 6 — x = 10^{6} = 1\,000\,000
\)

Ответ:
\(
x = 0.001, \quad x = 1\,000\,000
\)