ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
\log_{x} 4 + \log_{x^2} 64 = 5
\)

2)
\(
3 \log_{x} 16 — 4 \log_{16} x = 2 \log_{2} x
\)

3)
\(
\log_{x} 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2
\)

4)
\(
3 \log_{3x} x = 2 \log_{9x} x^{2}
\)

5)
\(
2 \log_{4x} x^{3} = 5 \log_{2x} x
\)

6)
\(
\log_{4x} 2 + \log_{2} x = 0
\)

1)
\(
\log_x 4 + \log_{x^2} 64 = 5;
\)
\(
\log_x 4 + \log_{x^2} 8^2 = 5;
\)
\(
\log_x 4 + \log_x 8 = 5;
\)
\(
\log_x 32 = 5;
\)
\(
x^5 = 32;
\)
\(
x = 2;
\)
Ответ: 2.

2)
\(
3 \log_x 16 — 4 \log_{16} x = 2 \log_2 x;
\)
\(
3 \log_x 2^4 — \frac{4}{\log_x 2^4} = \frac{2}{\log_x 2};
\)
\(
12 \log_x 2 — \frac{1}{\log_x 2} = \frac{2}{\log_x 2};
\)
\(
12 \log_x^2 2 — 1 = 2;
\)
\(
\log_x^2 2 = \frac{1}{4};
\)
\(
\log_x 2 = -\frac{1}{2}, \quad x_1 = \frac{1}{4};
\)
\(
\log_x^2 2 = 4, \quad x_2 = 4;
\)
Ответ: \(\frac{1}{4}; 4.\)

3)
\(
\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2;
\)
\(
\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 (4x)};
\)
\(
\log_2 x \cdot (\log_2 2 + \log_2 x) = \log_2 4 + \log_2 x;
\)
\(
\log_2 x \cdot (1 + \log_2 x) = 2 + \log_2 x;
\)
\(
\log_2^2 x + \log_2 x = 2 + \log_2 x;
\)
\(
\log_2^2 x = 2;
\)
\(
\log_2 x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_1 = 2^{-\sqrt{2}};
\)
\(
\log_2 x_2 = \sqrt{2}, \quad x_2 = 2^{\sqrt{2}};
\)
Ответ: \(2^{-\sqrt{2}}, \quad 2^{\sqrt{2}}\).

4)
\(
3 \log_3 x = 2 \log_9 x^2;
\)
\(
\frac{3 \log_3 x}{\log_3 3x} = \frac{2 \log_3 x^2}{\log_3 9x};
\)
\(
\frac{3 \log_3 x}{\log_3 3 + \log_3 x} = \frac{4 \log_3 x}{\log_3 9 + \log_3 x};
\)
\(
3 \log_3 x \cdot (2 + \log_3 x) = 4 \log_3 x \cdot (1 + \log_3 x);
\)
\(
6 \log_3 x + 3 \log_3^2 x = 4 \log_3 x + 4 \log_3^2 x;
\)
\(
\log_3^2 x — 2 \log_3 x = 0;
\)
\(
\log_3 x (\log_3 x — 2) = 0;
\)
\(
\log_3 x_1 = 0, \quad x_1 = 3^0 = 1;
\)
\(
\log_3 x_2 = 2, \quad x_2 = 3^2 = 9;
\)
Ответ: 1; 9.

5)
\(
2 \log_{4x} x^3 = 5 \log_{2x} x;
\)
\(
\frac{2 \log_2 x^3}{\log_2 4x} = \frac{5 \log_2 x}{\log_2 2x};
\)
\(
\frac{6 \log_2 x}{\log_2 4 + \log_2 x} = \frac{5 \log_2 x}{\log_2 2 + \log_2 x};
\)
\(
6 \log_2 x \cdot (1 + \log_2 x) = 5 \log_2 x \cdot (2 + \log_2 x);
\)
\(
6 \log_2 x + 6 \log_2^2 x = 10 \log_2 x + 5 \log_2^2 x;
\)
\(
\log_2^2 x — 4 \log_2 x = 0;
\)
\(
\log_2 x \cdot (\log_2 x — 4) = 0;
\)
\(
\log_2 x_1 = 0, \quad x_1 = 2^0 = 1;
\)
\(
\log_2 x_2 = 4, \quad x_2 = 2^4 = 16;
\)
Ответ: 1; 16.

6)
\(
\log_{4x} 2 + \log_2 x = 0;
\)
\(
\frac{1}{\log_2 4x} + \log_2 x = 0;
\)
\(
\frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x} = — \log_2 x;
\)
\(
— \log_2 x \cdot (2 + \log_2 x) = 1;
\)
\(
\log_2^2 x + 2 \log_2 x + 1 = 0;
\)
\(
(\log_2 x + 1)^2 = 0;
\)
\(
\log_2 x = -1;
\)
\(
x = 2^{-1} = \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

1)

Дано уравнение:
\(
\log_x 4 + \log_{x^2} 64 = 5;
\)

Перепишем второй логарифм, используя степень:
\(
\log_{x^2} 64 = \log_{x^2} 8^2;
\)

По свойству логарифмов:
\(
\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b,
\)
но проще заметить, что
\(
\log_{x^2} 64 = \frac{\log_x 64}{\log_x x^2} = \frac{\log_x 64}{2}.
\)

Или можно сразу заменить:
\(
\log_{x^2} 64 = \frac{\log_x 64}{2}.
\)

Но в решении сразу заменили:
\(
\log_{x^2} 64 = \log_x 8,
\)
потому что \(64 = 8^2\), и логарифм по основанию \(x^2\) можно переписать как половину логарифма по основанию \(x\).

В итоге:
\(
\log_x 4 + \log_x 8 = 5;
\)

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:
\(
\log_x (4 \cdot 8) = \log_x 32 = 5;
\)

По определению логарифма:
\(
x^5 = 32;
\)

Так как \(32 = 2^5\), то:
\(
x = 2.
\)

2)

Дано:
\(
3 \log_x 16 — 4 \log_{16} x = 2 \log_2 x;
\)

Перепишем логарифмы:
\(
16 = 2^4,
\)
тогда
\(
\log_x 16 = \log_x 2^4 = 4 \log_x 2;
\)
и
\(
\log_{16} x = \frac{1}{\log_x 16} = \frac{1}{4 \log_x 2}.
\)

Подставляем:
\(
3 \cdot 4 \log_x 2 — 4 \cdot \frac{1}{4 \log_x 2} = 2 \log_2 x;
\)
\(
12 \log_x 2 — \frac{1}{\log_x 2} = 2 \log_2 x.
\)

Теперь заметим, что
\(
\log_2 x = \frac{1}{\log_x 2},
\)
поэтому правая часть:
\(
2 \log_2 x = \frac{2}{\log_x 2}.
\)

Подставляем:
\(
12 \log_x 2 — \frac{1}{\log_x 2} = \frac{2}{\log_x 2}.
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
12 \log_x 2 = \frac{2}{\log_x 2} + \frac{1}{\log_x 2} = \frac{3}{\log_x 2}.
\)

Домножим обе части на \(\log_x 2\):
\(
12 (\log_x 2)^2 = 3;
\)
\(
(\log_x 2)^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}.
\)

Значит:
\(
\log_x 2 = \pm \frac{1}{2}.
\)

Рассмотрим оба варианта:

— \(\log_x 2 = \frac{1}{2}\)
Тогда
\(
x^{\frac{1}{2}} = 2 — \sqrt{x} = 2 — x = 4.
\)

— \(\log_x 2 = -\frac{1}{2}\)
Тогда
\(
x^{-\frac{1}{2}} = 2 — \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 — \sqrt{x} = \frac{1}{2} — x = \frac{1}{4}.
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{4}, \quad x = 4.
\)

3)

Дано:
\(
\log_x 2 \cdot \log_{2x} 2 = \log_{4x} 2;
\)

Перепишем логарифмы через основание 2:
\(
\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x},
\)
\(
\log_{2x} 2 = \frac{1}{\log_2 (2x)} = \frac{1}{\log_2 2 + \log_2 x} = \frac{1}{1 + \log_2 x},
\)
\(
\log_{4x} 2 = \frac{1}{\log_2 (4x)} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x} = \frac{1}{2 + \log_2 x}.
\)

Подставим:
\(
\frac{1}{\log_2 x} \cdot \frac{1}{1 + \log_2 x} = \frac{1}{2 + \log_2 x}.
\)

Домножим обе части на \(\log_2 x (1 + \log_2 x)(2 + \log_2 x)\):
\(
(2 + \log_2 x) = \log_2 x (1 + \log_2 x).
\)

Раскроем скобки:
\(
2 + \log_2 x = \log_2 x + (\log_2 x)^2;
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
(\log_2 x)^2 + \log_2 x — 2 — \log_2 x = 0;
\)
\(
(\log_2 x)^2 — 2 = 0;
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
(\log_2 x)^2 = 2;
\)
\(
\log_2 x = \pm \sqrt{2}.
\)

Тогда:
\(
x_1 = 2^{-\sqrt{2}}, \quad x_2 = 2^{\sqrt{2}}.
\)

4)

Дано:
\(
3 \log_3 x = 2 \log_9 x^2;
\)

Перепишем логарифм по основанию 9 через основание 3:
\(
\log_9 x^2 = \frac{\log_3 x^2}{\log_3 9} = \frac{2 \log_3 x}{2} = \log_3 x.
\)

Подставим:
\(
3 \log_3 x = 2 \cdot \log_3 x;
\)

Это равенство верно, если \(\log_3 x = 0\) или уравнение требует дополнительной проверки. В исходном решении было немного по-другому, рассмотрим подробнее.

Идём по шагам из решения:

\(
\frac{3 \log_3 x}{\log_3 3x} = \frac{2 \log_3 x^2}{\log_3 9x};
\)

Разложим знаменатели:
\(
\log_3 3x = \log_3 3 + \log_3 x = 1 + \log_3 x,
\)
\(
\log_3 9x = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x.
\)

Также \(\log_3 x^2 = 2 \log_3 x\).

Подставим:
\(
\frac{3 \log_3 x}{1 + \log_3 x} = \frac{4 \log_3 x}{2 + \log_3 x}.
\)

Домножим крест-накрест:
\(
3 \log_3 x (2 + \log_3 x) = 4 \log_3 x (1 + \log_3 x).
\)

Раскроем скобки:
\(
6 \log_3 x + 3 (\log_3 x)^2 = 4 \log_3 x + 4 (\log_3 x)^2.
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
3 (\log_3 x)^2 — 4 (\log_3 x)^2 + 6 \log_3 x — 4 \log_3 x = 0,
\)
\(
— (\log_3 x)^2 + 2 \log_3 x = 0,
\)
или
\(
(\log_3 x)^2 — 2 \log_3 x = 0.
\)

Домножим на -1 для удобства:
\(
(\log_3 x)^2 — 2 \log_3 x = 0,
\)

Вынесем общий множитель:
\(
\log_3 x (\log_3 x — 2) = 0.
\)

Отсюда:
\(
\log_3 x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3^0 = 1,
\)
или
\(
\log_3 x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 3^2 = 9.
\)

Дано:
\(
2 \log_{4x} x^3 = 5 \log_{2x} x;
\)

Перепишем в основании 2:
\(
\log_{4x} x^3 = \frac{\log_2 x^3}{\log_2 4x} = \frac{3 \log_2 x}{\log_2 4 + \log_2 x} = \frac{3 \log_2 x}{2 + \log_2 x},
\)
\(
\log_{2x} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 2x} = \frac{\log_2 x}{1 + \log_2 x}.
\)

Подставим:
\(
2 \cdot \frac{3 \log_2 x}{2 + \log_2 x} = 5 \cdot \frac{\log_2 x}{1 + \log_2 x};
\)
\(
\frac{6 \log_2 x}{2 + \log_2 x} = \frac{5 \log_2 x}{1 + \log_2 x}.
\)

Домножим крест-накрест:
\(
6 \log_2 x (1 + \log_2 x) = 5 \log_2 x (2 + \log_2 x).
\)

Раскроем скобки:
\(
6 \log_2 x + 6 (\log_2 x)^2 = 10 \log_2 x + 5 (\log_2 x)^2.
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
6 (\log_2 x)^2 — 5 (\log_2 x)^2 + 6 \log_2 x — 10 \log_2 x = 0,
\)
\(
(\log_2 x)^2 — 4 \log_2 x = 0.
\)

Вынесем общий множитель:
\(
\log_2 x (\log_2 x — 4) = 0.
\)

Отсюда:
\(
\log_2 x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2^0 = 1,
\)
или
\(
\log_2 x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2^4 = 16.
\)

6)

Дано:
\(
\log_{4x} 2 + \log_2 x = 0;
\)

Перепишем первый логарифм через основание 2:
\(
\log_{4x} 2 = \frac{1}{\log_2 4x} = \frac{1}{\log_2 4 + \log_2 x} = \frac{1}{2 + \log_2 x}.
\)

Подставим:
\(
\frac{1}{2 + \log_2 x} + \log_2 x = 0.
\)

Переносим \(\log_2 x\) в другую сторону:
\(
\frac{1}{2 + \log_2 x} = — \log_2 x.
\)

Домножим обе части на \(2 + \log_2 x\):
\(
1 = — \log_2 x (2 + \log_2 x).
\)

Раскроем скобки:
\(
1 = -2 \log_2 x — (\log_2 x)^2,
\)
или
\(
(\log_2 x)^2 + 2 \log_2 x + 1 = 0.
\)

Это квадратное уравнение:
\(
(\log_2 x + 1)^2 = 0,
\)

Отсюда:
\(
\log_2 x = -1,
\)
\(
x = 2^{-1} = \frac{1}{2}.
\)