ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить уравнения:

1)
\(
\log_{x} (9x^2) \cdot (\log_{3} x)^2 = 4;
\)

2)
\(
5 \log_{\frac{x}{9}} x + \log_{\frac{9}{x}} x^3 + 8 \log_{9x^2} x^2 = 2;
\)

3)
\(
\frac{2 — 4 \log_{12} 2}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)};
\)

4)
\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) \cdot \log_{x-1} (x+1) = 3.
\)

1)
\(
\log_x (9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4;
\)

\(
\frac{\log_3 (9x^2)}{\log_3 x} \cdot \log_3^2 x = 4;
\)

\(
(\log_3 9 + \log_3 x^2) \cdot \log_3 x = 4;
\)

\(
(2 + \log_3 x^2) \cdot \log_3 x = 4;
\)

\(
2 \log_3^2 x + 2 \log_3 x — 4 = 0;
\)

\(
\log_3^2 x + \log_3 x — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:

\(
\log_3 x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_1 = 3^{-2} = \frac{1}{9};
\)

\(
\log_3 x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad x_2 = 3^1 = 3;
\)

Ответ: \(\frac{1}{9}; 3.\)

2)
\(
5 \log_{\frac{x}{9}} x + \log_9 x^3 + 8 \log_{9x^2} x^2 = 2;
\)

\(
\frac{5 \log_3 x}{\log_3 \frac{x}{9}} + \frac{\log_3 x^3}{\log_3 9} + \frac{8 \log_3 x^2}{\log_3 9x^2} = 2;
\)

\(
\frac{5 \log_3 x}{\log_3 x — \log_3 9} + \frac{3 \log_3 x}{2} + \frac{8 \log_3 x}{2 + 2 \log_3 x} = 2;
\)

\(
\frac{5 \log_3 x}{\log_3 x — 2} + \frac{3 \log_3 x}{2} + \frac{8 \log_3 x}{2 + 2 \log_3 x} = 2;
\)

\(
\frac{5 \log_3 x}{\log_3 x — 2} + \frac{3 \log_3 x}{2} + \frac{4 \log_3 x}{1 + \log_3 x} = 2;
\)

\(
2 \log_3 x (1 + \log_3 x) + 8 \log_3 x (\log_3 x — 2) = 2(\log_3^2 x — \log_3 x — 2);
\)

\(
2 \log_3 x + 2 \log_3^2 x + 8 \log_3^2 x — 16 \log_3 x = 2 \log_3^2 x — 2 \log_3 x — 4;
\)

\(
8 \log_3^2 x — 12 \log_3 x + 4 = 0;
\)

\(
2 \log_3^2 x — 3 \log_3 x + 1 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad \text{тогда:}
\)

\(
\log_3 x_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad x_1 = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3};
\)

\(
\log_3 x_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1, \quad x_2 = 3^1 = 3;
\)

Ответ: \(\sqrt{3}; 3.\)

3)
\(
\frac{2 — 4 \log_{12} 2}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)};
\)

\(
\frac{\log_{12} (12^2 : 2^4)}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)};
\)

\(
\log_{x+2} 9 — 1 = \log_{x+2} (8 — x);
\)

\(
\log_{x+2} (8 — x) — \log_{x+2} 9 = -1;
\)

\(
\log_{x+2} \frac{8 — x}{9} = \log_{x+2} \frac{1}{x + 2};
\)

\(
\frac{8 — x}{9} = \frac{1}{x + 2};
\)

\(
(8 — x)(x + 2) = 9;
\)

\(
8x + 16 — x^2 — 2x = 9;
\)

\(
x^2 — 6x — 7 = 0;
\)

\(
D = 6^2 + 4 \cdot 7 = 36 + 28 = 64, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7;
\)

Область определения:

\(
x + 2 \neq 1, \quad x + 2 > 0, \quad 8 — x > 0;
\)

\(
x \neq -1, \quad x > -2, \quad x < 8;
\)

Ответ: 7.

4)
\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) \cdot \log_{x-1} (x + 1) = 3;
\)

\(
\frac{\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8)}{\log_{x+1} (x — 1)} = 3;
\)

\(
\log_{x-1} (x^3 — 9x + 8) = 3;
\)

\(
x^3 — 9x + 8 = (x — 1)^3;
\)

\(
x^3 — 9x + 8 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1;
\)

\(
3x^2 — 12x + 9 = 0;
\)

\(
x^2 — 4x + 3 = 0;
\)

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \quad \text{тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)

Область определения:

\(
x — 1 \neq 1, \quad x + 1 > 0;
\)

\(
x \neq 2, \quad x > 1, \quad x > -1;
\)

Ответ: 3.

1) Решение уравнения

\(
\log_x (9x^2) \cdot \log_3^2 x = 4;
\)

Перепишем логарифм с основанием \(x\) через логарифмы с основанием 3:

\(
\log_x (9x^2) = \frac{\log_3 (9x^2)}{\log_3 x}.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
\frac{\log_3 (9x^2)}{\log_3 x} \cdot \log_3^2 x = 4.
\)

Сократим \(\log_3 x\) в числителе и знаменателе:

\(
\log_3 (9x^2) \cdot \log_3 x = 4.
\)

Раскроем логарифм произведения:

\(
\log_3 9 + \log_3 x^2 = 2 + 2 \log_3 x,
\)

так как \(\log_3 9 = 2\) и \(\log_3 x^2 = 2 \log_3 x\).

Подставим:

\(
(2 + 2 \log_3 x) \cdot \log_3 x = 4.
\)

Раскроем скобки:

\(
2 \log_3 x + 2 \log_3^2 x = 4.
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
2 \log_3^2 x + 2 \log_3 x — 4 = 0.
\)

Разделим на 2:

\(
\log_3^2 x + \log_3 x — 2 = 0.
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\), тогда уравнение:

\(
t^2 + t — 2 = 0.
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни:

\(
t_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Обратимся к \(x\):

\(
x_1 = 3^{t_1} = 3^{-2} = \frac{1}{9}, \quad x_2 = 3^{t_2} = 3^1 = 3.
\)

Ответ:

\(
\frac{1}{9}; \quad 3.
\)

2) Уравнение

\(
5 \log_{\frac{x}{9}} x + \log_9 x^3 + 8 \log_{9x^2} x^2 = 2.
\)

Перепишем все логарифмы через основание 3.

Для первого слагаемого:

\(
\log_{\frac{x}{9}} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 \frac{x}{9}} = \frac{\log_3 x}{\log_3 x — \log_3 9} = \frac{\log_3 x}{\log_3 x — 2}.
\)

Для второго:

\(
\log_9 x^3 = \frac{\log_3 x^3}{\log_3 9} = \frac{3 \log_3 x}{2}.
\)

Для третьего:

\(
\log_{9x^2} x^2 = \frac{\log_3 x^2}{\log_3 9x^2} = \frac{2 \log_3 x}{2 + 2 \log_3 x} = \frac{2 \log_3 x}{2(1 + \log_3 x)} = \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x}.
\)

Подставим в исходное уравнение:

\(
5 \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 x — 2} + \frac{3 \log_3 x}{2} + 8 \cdot \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x} = 2.
\)

Упростим третье слагаемое:

\(
8 \cdot \frac{\log_3 x}{1 + \log_3 x} = \frac{8 \log_3 x}{1 + \log_3 x}.
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\). Тогда уравнение:

\(
\frac{5 t}{t — 2} + \frac{3 t}{2} + \frac{8 t}{1 + t} = 2.
\)

Перенесём 2 в левую часть:

\(
\frac{5 t}{t — 2} + \frac{3 t}{2} + \frac{8 t}{1 + t} — 2 = 0.
\)

Умножим на \((t — 2)(1 + t)\):

\(
5 t (1 + t) + \frac{3 t}{2} (t — 2)(1 + t) + 8 t (t — 2) — 2 (t — 2)(1 + t) = 0.
\)

Раскроем скобки:

— \(5 t (1 + t) = 5 t + 5 t^2\),
— \(\frac{3 t}{2} (t — 2)(1 + t) = \frac{3 t}{2} (t^2 — t — 2) = \frac{3 t^3}{2} — \frac{3 t^2}{2} — 3 t\),
— \(8 t (t — 2) = 8 t^2 — 16 t\),
— \(-2 (t — 2)(1 + t) = -2 (t^2 — t — 2) = -2 t^2 + 2 t + 4.\)

Сложим все:

\(
5 t + 5 t^2 + \frac{3 t^3}{2} — \frac{3 t^2}{2} — 3 t + 8 t^2 — 16 t — 2 t^2 + 2 t + 4 = 0.
\)

Сгруппируем по степеням:

— \(t^3\): \(\frac{3 t^3}{2}\),
— \(t^2\): \(5 t^2 — \frac{3 t^2}{2} + 8 t^2 — 2 t^2 = (5 — 1.5 + 8 — 2) t^2 = 9.5 t^2\),
— \(t\): \(5 t — 3 t — 16 t + 2 t = (-12) t\),
— константа: \(4\).

Итого:

\(
\frac{3}{2} t^3 + 9.5 t^2 — 12 t + 4 = 0.
\)

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

\(
3 t^3 + 19 t^2 — 24 t + 8 = 0.
\)

Другой подход (из исходного решения):

\(
2 \log_3 x (1 + \log_3 x) + 8 \log_3 x (\log_3 x — 2) = 2(\log_3^2 x — \log_3 x — 2).
\)

Обозначим \(t = \log_3 x\):

\(
2 t (1 + t) + 8 t (t — 2) = 2 (t^2 — t — 2).
\)

Раскроем скобки:

\(
2 t + 2 t^2 + 8 t^2 — 16 t = 2 t^2 — 2 t — 4.
\)

Сложим левую часть:

\(
10 t^2 — 14 t = 2 t^2 — 2 t — 4.
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
10 t^2 — 14 t — 2 t^2 + 2 t + 4 = 0,
\)

\(
8 t^2 — 12 t + 4 = 0.
\)

Разделим на 4:

\(
2 t^2 — 3 t + 1 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1.
\)

Корни:

\(
t_1 = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1.
\)

Обратимся к \(x\):

\(
x_1 = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}, \quad x_2 = 3^1 = 3.
\)

Ответ:

\(
\sqrt{3}; \quad 3.
\)

3) Уравнение

\(
\frac{2 — 4 \log_{12} 2}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)}.
\)

Заметим, что

\(
2 — 4 \log_{12} 2 = \log_{12} (12^2) — \log_{12} (2^4) = \log_{12} \left(\frac{12^2}{2^4}\right).
\)

Подставим:

\(
\frac{\log_{12} \left(\frac{12^2}{2^4}\right)}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)}.
\)

Вычислим числитель:

\(
12^2 = 144, \quad 2^4 = 16, \quad \frac{144}{16} = 9,
\)

тогда:

\(
\frac{\log_{12} 9}{\log_{12} (x+2)} — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)}.
\)

Левая часть:

\(
\log_{x+2} 9 — 1 = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)}.
\)

Перепишем \(1\) как \(\log_{x+2} (x+2)\):

\(
\log_{x+2} 9 — \log_{x+2} (x+2) = \frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)}.
\)

Левая часть:

\(
\log_{x+2} \frac{9}{x+2}.
\)

Правая часть — это \(\log_{x+2} (8 — x)\) по свойству логарифмов:

\(
\frac{\log_6 (8 — x)}{\log_6 (x + 2)} = \log_{x+2} (8 — x).
\)

Тогда уравнение:

\(
\log_{x+2} \frac{9}{x+2} = \log_{x+2} (8 — x).
\)

Равенство логарифмов даёт равенство аргументов:

\(
\frac{9}{x+2} = 8 — x.
\)

Перемножим:

\(
9 = (8 — x)(x + 2) = 8x + 16 — x^2 — 2x = -x^2 + 6x + 16.
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
x^2 — 6x — 7 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.
\)

Область определения:

— \(x + 2 > 0 — x > -2\),
— \(x + 2 \neq 1 — x \neq -1\),
— \(8 — x > 0 — x < 8\).

Из корней подходит только \(x = 7\), так как \(x = -1\) запрещён.

Ответ:

\(
7.
\)

4) Уравнение

\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) \cdot \log_{x-1} (x + 1) = 3.
\)

Воспользуемся свойством логарифмов:

\(
\log_a b = \frac{1}{\log_b a}.
\)

Тогда

\(
\log_{x-1} (x + 1) = \frac{1}{\log_{x+1} (x — 1)}.
\)

Исходное уравнение перепишем как

\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) \cdot \frac{1}{\log_{x+1} (x — 1)} = 3,
\)

то есть

\(
\frac{\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8)}{\log_{x+1} (x — 1)} = 3.
\)

Это равносильно

\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) = 3 \log_{x+1} (x — 1).
\)

По свойству степеней логарифма:

\(
\log_{x+1} (x^3 — 9x + 8) = \log_{x+1} (x — 1)^3.
\)

Отсюда

\(
x^3 — 9x + 8 = (x — 1)^3.
\)

Раскроем правую часть:

\(
(x — 1)^3 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1.
\)

Приравняем:

\(
x^3 — 9x + 8 = x^3 — 3x^2 + 3x — 1.
\)

Сократим \(x^3\) по обе стороны:

\(
-9x + 8 = -3x^2 + 3x — 1.
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
3x^2 — 12x + 9 = 0.
\)

Разделим на 3:

\(
x^2 — 4x + 3 = 0.
\)

Найдём дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\)

Область определения:

— \(x + 1 > 0 — x > -1\),
— \(x — 1 > 0 — x > 1\),
— \(x^3 — 9x + 8 > 0\) (проверим для корней).

Проверим значения при корнях:

— При \(x = 1\):

\(
1^3 — 9 \cdot 1 + 8 = 1 — 9 + 8 = 0,
\)

логарифм не определён (аргумент должен быть строго положительным), значит \(x=1\) не подходит.

— При \(x=3\):

\(
27 — 27 + 8 = 8 > 0,
\)

условия области определения выполнены.

Ответ:

\(
3.
\)