ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1. \( \log_x 9 + \log_{x^2} 729 = 10 \)

2. \( \log_x (125x) \cdot (\log_{25} x)^2 = 1 \)

3. \( \log_x 4 + 2\log_{4x} 4 + 3\log_{16x} 4 = 0 \)

1)
\( \log_x 9 + \log_{x^2} 729 = 10; \)

\( \log_x 9 + \log_{x^2} 9^3 = 10; \)

\( \log_x 9 + \frac{3}{2} \log_x 9 = 10; \)

\( \frac{5}{2} \log_x 9 = 10; \)

\( \log_x 9 = 4; \)

\( x^4 = 9; \)

\( x = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}; \)

Ответ: \( \sqrt{3} \).

2)
\( \log_x (125x) \cdot \log_{25}^2 x = 1; \)

\( \frac{\log_5 (125x)}{\log_5 x} \cdot \frac{1}{4} \log_5^2 x = 1; \)

\( (\log_5 125 + \log_5 x) \cdot \log_5 x = 4; \)

\( (3 + \log_5 x) \cdot \log_5 x = 4; \)

\( \log_5^2 x + 3 \log_5 x — 4 = 0; \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \)

тогда:

\( \log_5 x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_1 = 5^{-4} = \frac{1}{625}; \)

\( \log_5 x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1, \quad x_2 = 5^1 = 5; \)

Ответ: \( \frac{1}{625}; \quad 5. \)

3)

\( 3 \log_x 4 + 2 \log_{4x} 4 + 3 \log_{16} 4 = 0; \)

\( \frac{3 \log_4 4}{\log_4 x} + \frac{2 \log_4 4}{\log_4 (4x)} + \frac{3 \log_4 4}{\log_4 (16x)} = 0; \)

\( \frac{3}{\log_4 x} + \frac{2}{\log_4 4 + \log_4 x} + \frac{3}{\log_4 16 + \log_4 x} = 0; \)

\( \frac{3}{\log_4 x} + \frac{2}{1 + \log_4 x} + \frac{3}{2 + \log_4 x} = 0; \)

\( 3(1 + \log_4 x)(2 + \log_4 x) + 2 \log_4 x (2 + \log_4 x) + 3 \log_4 x (1 + \log_4 x) = 0; \)

Раскроем скобки и соберём подобные:

\( 6 + 9 \log_4 x + 3 \log_4^2 x + 4 \log_4 x + 2 \log_4^2 x + 3 \log_4 x + 3 \log_4^2 x = 0; \)

\( 8 \log_4^2 x + 16 \log_4 x + 6 = 0; \)

Разделим на 2:

\( 4 \log_4^2 x + 8 \log_4 x + 3 = 0; \)

Вычислим дискриминант:

\( D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16, \)

тогда:

\( \log_4 x_1 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}, \quad x_1 = 4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{8}; \)

\( \log_4 x_2 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}; \)

Ответ: \( \frac{1}{8}; \quad \frac{1}{2}. \)

1) Решение уравнения

\(
\log_x 9 + \log_{x^2} 729 = 10.
\)

Сначала перепишем второй логарифм, используя степень основания:

\(
\log_{x^2} 729 = \log_{x^2} 9^3,
\)

так как \(729 = 9^3\).

По формуле перехода между основаниями логарифма:

\(
\log_{x^2} 9^3 = \frac{\log_x 9^3}{\log_x x^2} = \frac{3 \log_x 9}{2},
\)

поскольку \(\log_x x^2 = 2\).

Подставим в исходное уравнение:

\(
\log_x 9 + \frac{3}{2} \log_x 9 = 10.
\)

Сложим подобные:

\(
\frac{5}{2} \log_x 9 = 10.
\)

Отсюда:

\(
\log_x 9 = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4.
\)

Перепишем в степенную форму:

\(
x^4 = 9.
\)

Тогда

\(
x = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}.
\)

Ответ:

\(
x = \sqrt{3}.
\)

2) Решение уравнения

\(
\log_x (125x) \cdot \log_{25}^2 x = 1.
\)

Перепишем логарифмы через основание 5, так как \(125 = 5^3\), \(25 = 5^2\):

\(
\log_x (125x) = \frac{\log_5 (125x)}{\log_5 x},
\)

а

\(
\log_{25} x = \frac{\log_5 x}{\log_5 25} = \frac{\log_5 x}{2}.
\)

Тогда

\(
\log_{25}^2 x = \left(\frac{\log_5 x}{2}\right)^2 = \frac{\log_5^2 x}{4}.
\)

Подставим в уравнение:

\(
\frac{\log_5 (125x)}{\log_5 x} \cdot \frac{\log_5^2 x}{4} = 1.
\)

Сократим:

\(
\frac{\log_5 (125x) \cdot \log_5^2 x}{4 \log_5 x} = 1.
\)

Так как \(\log_5^2 x = (\log_5 x)^2\), то:

\(
\frac{\log_5 (125x) \cdot (\log_5 x)^2}{4 \log_5 x} = \frac{\log_5 (125x) \cdot \log_5 x}{4} = 1.
\)

Умножим обе части на 4:

\(
\log_5 (125x) \cdot \log_5 x = 4.
\)

Раскроем логарифм:

\(
(\log_5 125 + \log_5 x) \cdot \log_5 x = 4.
\)

Так как \(\log_5 125 = 3\), получаем:

\(
(3 + \log_5 x) \cdot \log_5 x = 4.
\)

Раскроем скобки:

\(
\log_5^2 x + 3 \log_5 x = 4.
\)

Перенесём 4 влево:

\(
\log_5^2 x + 3 \log_5 x — 4 = 0.
\)

Обозначим \(t = \log_5 x\), тогда уравнение квадратное:

\(
t^2 + 3t — 4 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Найдём корни:

\(
t_1 = \frac{-3 — 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4,
\)

\(
t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1.
\)

Вернёмся к переменной \(x\):

\(
x_1 = 5^{t_1} = 5^{-4} = \frac{1}{625},
\)

\(
x_2 = 5^{t_2} = 5^1 = 5.
\)

Ответ:

\(
x = \frac{1}{625}; \quad x = 5.
\)

3) Решение уравнения

\(
3 \log_x 4 + 2 \log_{4x} 4 + 3 \log_{16} 4 = 0.
\)

Перепишем все логарифмы через основание 4.

Используем формулу перехода:

\(
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
\)

Тогда:

\(
\log_x 4 = \frac{\log_4 4}{\log_4 x} = \frac{1}{\log_4 x},
\)

так как \(\log_4 4 = 1\).

Далее:

\(
\log_{4x} 4 = \frac{\log_4 4}{\log_4 (4x)} = \frac{1}{\log_4 4 + \log_4 x} = \frac{1}{1 + \log_4 x},
\)

и

\(
\log_{16} 4 = \frac{\log_4 4}{\log_4 16} = \frac{1}{2},
\)

но нам нужно \(\log_{16} 4\) в зависимости от \(x\):

\(
\log_{16} 4 = \frac{\log_4 4}{\log_4 16} = \frac{1}{2},
\)

\(
\log_{16x} 4 = \frac{\log_4 4}{\log_4 (16x)} = \frac{1}{\log_4 16 + \log_4 x} = \frac{1}{2 + \log_4 x}.
\)

\(
3 \log_x 4 + 2 \log_{4x} 4 + 3 \log_{16} 4 = 0.
\)

Заменим каждый:

\(
3 \cdot \frac{1}{\log_4 x} + 2 \cdot \frac{1}{1 + \log_4 x} + 3 \cdot \frac{1}{2} = 0.
\)

\(
3 \cdot \frac{1}{2 + \log_4 x}.
\)

Итак, уравнение:

\(
\frac{3}{\log_4 x} + \frac{2}{1 + \log_4 x} + \frac{3}{2 + \log_4 x} = 0.
\)

Обозначим:

\(
t = \log_4 x.
\)

Уравнение становится:

\(
\frac{3}{t} + \frac{2}{1 + t} + \frac{3}{2 + t} = 0.
\)

Умножим обе части на общий знаменатель \(t(1+t)(2+t)\):

\(
3(1 + t)(2 + t) + 2 t (2 + t) + 3 t (1 + t) = 0.
\)

Раскроем скобки:

\(
3 (1 \cdot 2 + 1 \cdot t + 2 \cdot t + t \cdot t) + 2 t (2 + t) + 3 t (1 + t) = 0,
\)

\(
3 (2 + 3 t + t^2) + 2 t (2 + t) + 3 t (1 + t) = 0.
\)

Раскроем дальше:

\(
6 + 9 t + 3 t^2 + 4 t + 2 t^2 + 3 t + 3 t^2 = 0.
\)

Соберём подобные:

\(
(3 t^2 + 2 t^2 + 3 t^2) + (9 t + 4 t + 3 t) + 6 = 0,
\)

\(
8 t^2 + 16 t + 6 = 0.
\)

Разделим на 2:

\(
4 t^2 + 8 t + 3 = 0.
\)

Вычислим дискриминант:

\(
D = 8^2 — 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 — 48 = 16.
\)

Найдём корни:

\(
t_1 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2},
\)

\(
t_2 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}.
\)

Вернёмся к \(x\):

\(
x_1 = 4^{t_1} = 4^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{4^{3/2}} = \frac{1}{(4^{1/2})^3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8},
\)

\(
x_2 = 4^{t_2} = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{1/2}} = \frac{1}{2}.
\)

Ответ:

\(
x = \frac{1}{8}; \quad x = \frac{1}{2}.
\)