ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что при } x > 0, y > 0, a > 0 \text{ и } a \neq 1
\)
\(
\text{ выполняется равенство } x^{\log_a y} = y^{\log_a x}.
\)

Доказать, что выполняется равенство:
\( x > 0, \quad y > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1; \)

\(
x^{\log_a y} = y^{\log_a x};
\)

\(
\log_x x^{\log_a y} = \log_x y^{\log_a x};
\)

\(
\log_a y = \log_a x \cdot \log_x y;
\)

\(
\frac{\log_a y}{\log_a x} = \log_x y;
\)

\(
\log_x y = \log_x y;
\)

Что и требовалось доказать.

Доказательство равенства \( x^{\log_a y} = y^{\log_a x} \) при условиях \( x > 0, \quad y > 0, \quad a > 0, \quad a \neq 1 \):

1. Начнем с левой части равенства:

\(
x^{\log_a y}
\)

2. Применим логарифм по основанию \( x \):

\(
\log_x (x^{\log_a y}) = \log_a y
\)

3. Используем свойство логарифмов:

\(
\log_x (x^{\log_a y}) = \log_a y
\)

4. Теперь рассмотрим правую часть равенства:

\(
y^{\log_a x}
\)

5. Применим логарифм по основанию \( x \):

\(
\log_x (y^{\log_a x}) = \log_a x \cdot \log_x y
\)

6. Мы имеем два уравнения:

\(
\log_x (x^{\log_a y}) = \log_a y
\)

\(
\log_x (y^{\log_a x}) = \log_a x \cdot \log_x y
\)

7. Приравняем обе стороны:

\(
\log_a y = \log_a x \cdot \log_x y
\)

8. Разделим обе стороны на \( \log_a x \) (поскольку \( a \neq 1 \), \( \log_a x \neq 0 \)):

\(
\frac{\log_a y}{\log_a x} = \log_x y
\)

9. Таким образом, мы получили:

\(
\log_x y = \log_x y
\)

10. Это равенство истинно для всех \( x > 0, y > 0, a > 0, a \neq 1 \).

Что и требовалось доказать.