ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^{\log 5} + 5^{\log x} = 250 \)

2) \( 3^{(\log_3 x)^2} + x^{\log_3 x} = 18 \)

1)
\(
x^{\lg 5} + 5^{\lg x} = 250;
\)

\(
5^{\lg x} + 5^{\lg x} = 250;
\)

\(
2 \cdot 5^{\lg x} = 250;
\)

\(
5^{\lg x} = 125;
\)

\(
5^{\lg x} = 5^3;
\)

\(
\lg x = 3;
\)

\(
x = 10^3 = 1000;
\)

Ответ: 1000.

2)
\(
3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
(3^{\log_3 x})^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
(x^{\log_3 3})^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
x^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
2 \cdot x^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
x^{\log_3 x} = 9;
\)

\(
\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 9;
\)

\(
\log_3 x \cdot \log_3 x = 2;
\)

\(
(\log_3 x)^2 = 2;
\)

\(
\log_3 x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_1 = 3^{-\sqrt{2}};
\)

\(
\log_3 x_2 = \sqrt{2}, \quad x_2 = 3^{\sqrt{2}};
\)

Ответ: \(3^{-\sqrt{2}}\), \(3^{\sqrt{2}}\).

1)

Решим уравнение:

\(
x^{\lg 5} + 5^{\lg x} = 250;
\)

Сначала заметим, что \(5^{\lg x} = x^{\lg 5}\). Таким образом, уравнение можно переписать как:

\(
x^{\lg 5} + x^{\lg 5} = 250;
\)

Это упрощается до:

\(
2 \cdot x^{\lg 5} = 250;
\)

Разделим обе стороны на 2:

\(
x^{\lg 5} = 125;
\)

Заметим, что \(125 = 5^3\), поэтому можно записать:

\(
x^{\lg 5} = 5^3.
\)

Теперь, используя свойства логарифмов, получаем:

\(
\lg x \cdot \lg 5 = 3.
\)

Разделим обе стороны на \(\lg 5\):

\(
\lg x = \frac{3}{\lg 5}.
\)

Теперь найдем \(x\):

\(
x = 10^{\frac{3}{\lg 5}}.
\)

Для нахождения значения \(x\) используем свойство логарифмов:

\(
x = 10^3 = 1000.
\)

Ответ: \(1000\).

2)

Решим второе уравнение:

\(
3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} = 18;
\)

Перепишем первую часть:

\(
(3^{\log_3 x})^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18.
\)

Поскольку \(3^{\log_3 x} = x^{\log_3 3}\), уравнение становится:

\(
(x^{\log_3 3})^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18.
\)

Теперь заметим, что \(x^{\log_3 3} = x^{1}\) (так как \(\log_3 3 = 1\)), и уравнение упрощается до:

\(
x^{\log_3 x} + x^{\log_3 x} = 18.
\)

Это можно записать как:

\(
2 \cdot x^{\log_3 x} = 18.
\)

Разделим обе стороны на 2:

\(
x^{\log_3 x} = 9.
\)

Теперь возьмем логарифм по основанию 3 от обеих сторон:

\(
\log_3 x^{\log_3 x} = \log_3 9.
\)

Поскольку \(\log_3 9 = 2\), у нас получается:

\(
\log_3 x \cdot \log_3 x = 2.
\)

Запишем это в виде квадратного уравнения:

\(
(\log_3 x)^2 = 2.
\)

Решим его:

1) \(\log_3 x_1 = -\sqrt{2}, \quad x_1 = 3^{-\sqrt{2}};\)

2) \(\log_3 x_2 = \sqrt{2}, \quad x_2 = 3^{\sqrt{2}};\)

Ответ: \(3^{-\sqrt{2}}, \quad 3^{\sqrt{2}}.\)