ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{cases}
x^{\log_2 10} + 10^{\log_2 x} = 200 \\
7^{(\log_7 x)^2} + x^{\log_7 x} = 14
\end{cases}
\)

1)
\(
x^{\log_2 10} + 10^{\log_2 x} = 200;
\)

\(
10^{\log_2 x} + 10^{\log_2 x} = 200;
\)

\(
2 \cdot 10^{\log_2 x} = 200;
\)

\(
10^{\log_2 x} = 100;
\)

\(
10^{\log_2 x} = 10^2;
\)

\(
\log_2 x = 2;
\)

\(
x = 2^2 = 4;
\)

Ответ: 4.

2)
\(
7^{\log_7^2 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

\(
(7^{\log_7 x})^{\log_7 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

\(
(x^{\log_7 7})^{\log_7 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

\(
x^{\log_7 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

\(
2 \cdot x^{\log_7 x} = 14;
\)

\(
x^{\log_7 x} = 7;
\)

\(
\log_7 x^{\log_7 x} = \log_7 7;
\)

\(
\log_7 x \cdot \log_7 x = 1;
\)

\(
(\log_7 x)^2 = 1;
\)

\(
\log_7 x_1 = -1, \quad x_1 = \frac{1}{7};
\)

\(
\log_7 x_2 = 1, \quad x_2 = 7;
\)

Ответ: \(\frac{1}{7}; 7\).

1)

Решим уравнение:

\(
x^{\log_2 10} + 10^{\log_2 x} = 200;
\)

Заметим, что \(10^{\log_2 x}\) можно переписать как \(10^{\log_2 x} = x^{\log_2 10}\). Таким образом, уравнение можно записать в следующем виде:

\(
x^{\log_2 10} + x^{\log_2 10} = 200;
\)

Это позволяет нам упростить уравнение:

\(
2 \cdot x^{\log_2 10} = 200;
\)

Теперь делим обе стороны на 2:

\(
x^{\log_2 10} = 100;
\)

Затем переписываем \(100\) как \(10^2\):

\(
x^{\log_2 10} = 10^2;
\)

Применяем логарифм по основанию \(10\):

\(
\log_2 x \cdot \log_2 10 = 2;
\)

Теперь выразим \(\log_2 x\):

\(
\log_2 x = \frac{2}{\log_2 10};
\)

Используя свойство логарифмов, получаем:

\(
x = 2^{\frac{2}{\log_2 10}} = 4.
\)

Ответ: \(4\).

2)

Решим следующее уравнение:

\(
7^{(\log_7 x)^2} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

Переписываем первое слагаемое:

\(
(7^{\log_7 x})^{\log_7 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

Поскольку \(7^{\log_7 x} = x\), у нас получается:

\(
x^{\log_7 x} + x^{\log_7 x} = 14;
\)

Соберем подобные слагаемые:

\(
2 \cdot x^{\log_7 x} = 14;
\)

Теперь делим обе стороны на 2:

\(
x^{\log_7 x} = 7;
\)

Применяем логарифм по основанию \(7\):

\(
\log_7(x^{\log_7 x}) = \log_7 7;
\)

Это дает нам:

\(
\log_7 x \cdot \log_7 x = 1;
\)

Следовательно,

\(
(\log_7 x)^2 = 1.
\)

Теперь решим это уравнение:

1. \(\log_7 x_1 = -1 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{7};\)
2. \(\log_7 x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 7;\)

Ответ: \(\frac{1}{7}; 7.\)