ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите систему уравнений:}
\)

1)
\(
\begin{cases}
9^x — 4 \cdot 3^{5-y} + 27 = 0, \\
\lg(2y — 3x) = \lg(4 — 4x + y);
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^{\log_3 y} + y^{\log_3 x} = 18, \\
\log_3 x + \log_3 y = 3;
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
x^{\log_8 y} + y^{\log_8 x} = 4, \\
\log_4 x — \log_4 y = 1;
\end{cases}
\)

4)
\(
\begin{cases}
\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}, \\
xy = 27;
\end{cases}
\)

5)
\(
\begin{cases}
\log_3 (x + 2y) + \log_{1/3} (x — 2y) = 1, \\
x^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y;
\end{cases}
\)

6)
\(
\begin{cases}
x^{\lg y} = 2, \\
xy = 20.
\end{cases}
\)

1)
\(
\begin{cases}
9^x — 4 \cdot 3^{5-y} + 27 = 0 \\
\lg(2y — 3x) = \lg(4 — 4x + y)
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
2y — 3x = 4 — 4x + y;
\)

\(
y = 4 — x;
\)

Первое уравнение:
\(
9^x — 4 \cdot 3^{5-(4-x)} + 27 = 0;
\)

\(
3^{2x} — 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0;
\)

\(
3^{2x} — 12 \cdot 3^x + 27 = 0;
\)

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 27 = 144 — 108 = 36,
\)

тогда:
\(
3^x_1 = \frac{12 — 6}{2} = 3, \quad 3^x_2 = \frac{12 + 6}{2} = 9;
\)

\(
x_1 = 1, \quad x_2 = 2;
\)

\(
y_1 = 4 — 1 = 3, \quad y_2 = 4 — 2 = 2;
\)

Область определения:
\(
2y — 3x > 0;
\)

\(
2y > 3x;
\)

\(
y > 1.5x;
\)

Ответ: \((1; 3)\).

2)
\(
\begin{cases}
x^{\log_3 y} + y^{\log_3 x} = 18 \\
\log_3 x + \log_3 y = 3
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_3 (xy) = \log_3 3^3;
\)

\(
xy = 27;
\)

Первое уравнение:
\(
x^{\log_3 y} + y^{\log_3 x} = 18;
\)

2)
\(
2 \cdot y^{\log_3 x} = 18;
\)

\(
y^{\log_3 \frac{27}{y}} = 9;
\)

\(
\log_3 y^{\log_3 \frac{27}{y}} = \log_3 9;
\)

\(
\log_3 \frac{27}{y} \cdot \log_3 y = 2;
\)

\(
(\log_3 27 — \log_3 y) \cdot \log_3 y = 2;
\)

\(
3 \log_3 y — (\log_3 y)^2 = 2;
\)

\(
(\log_3 y)^2 — 3 \log_3 y + 2 = 0;
\)

\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1,
\)

тогда:
\(
\log_3 y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad y_1 = 3^1 = 3;
\)

\(
\log_3 y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2, \quad y_2 = 3^2 = 9;
\)

\(
x_1 = \frac{27}{y_1} = \frac{27}{3} = 9, \quad x_2 = \frac{27}{y_2} = \frac{27}{9} = 3;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0;
\)

Ответ: \((3; 9), (9; 3)\).

3)
\(
\begin{cases}
x^{\log_8 y} + y^{\log_8 x} = 4 \\
\log_4 x — \log_4 y = 1
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_4 \frac{x}{y} = \log_4 4^1;
\)

\(
\frac{x}{y} = 4;
\)

\(
x = 4y;
\)

Первое уравнение:
\(
y^{\log_8 x} + y^{\log_8 x} = 4;
\)

\(
2 \cdot y^{\log_8 x} = 4;
\)

\(
y^{\log_8 (4y)} = 2;
\)

\(
\log_8 y^{\log_8 (4y)} = \log_8 2;
\)

\(
\log_8 (4y) \cdot \log_8 y = \frac{1}{3};
\)

\(
3 (\log_8 4 + \log_8 y) \cdot \log_8 y = 1;
\)

\(
2 \log_8 y + 3 (\log_8 y)^2 = 1;
\)

\(
3 (\log_8 y)^2 + 2 \log_8 y — 1 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
\log_8 y_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -1, \quad y_1 = 8^{-1} = \frac{1}{8};
\)

\(
\log_8 y_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = 8^{\frac{1}{3}} = 2;
\)

\(
x_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 4 \cdot 2 = 8;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0;
\)

Ответ: \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}\right); (8; 2)\).

4)
\(
\begin{cases}
\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\
xy = 27
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
x = \frac{27}{y};
\)

Первое уравнение:
\(
\log_y x + \frac{1}{\log_y x} = \frac{5}{2};
\)

Обозначим:
\(
t = \log_y x;
\)

Тогда:
\(
t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2};
\)

\(
2t^2 — 5t + 2 = 0;
\)

\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9,
\)

\(
t_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2;
\)

\(
\log_y x = \frac{1}{2} — x = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y};
\)

\(
\log_y x = 2 — x = y^2;
\)

Подставляем во второе уравнение:
\(
x y = 27;
\)

Для \(x = \sqrt{y}\):
\(
\sqrt{y} \cdot y = y^{\frac{3}{2}} = 27 — y_1 = 9;
\)

Для \(x = y^2\):
\(
y^2 \cdot y = y^3 = 27 — y_2 = 3;
\)

\(
x_1 = \frac{27}{9} = 3, \quad x_2 = \frac{27}{3} = 9;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0;
\)

\(
x \neq 1, \quad y \neq 1;
\)

Ответ: \((3; 9); (9; 3)\).

5)
\(
\begin{cases}
\log_3 (x + 2y) + \log_{\frac{1}{3}} (x — 2y) = 1 \\
x^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
\log_3 (x + 2y) — \log_3 (x — 2y) = 1;
\)

\(
\log_3 \frac{x + 2y}{x — 2y} = 1;
\)

\(
\frac{x + 2y}{x — 2y} = 3^1 = 3;
\)

\(
x + 2y = 3(x — 2y);
\)

\(
x + 2y = 3x — 6y;
\)

\(
2x = 8y;
\)

\(
x = 4y;
\)

Второе уравнение:
\(
(4y)^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y;
\)

\(
16 y^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y;
\)

\(
17 y^2 — \frac{1}{2} y — 4 = 0;
\)

\(
34 y^2 — y — 8 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 34 \cdot 8 = 1 + 1088 = 1089,
\)

тогда:
\(
y_1 = \frac{1 — 33}{2 \cdot 34} = -\frac{8}{17}, \quad x_1 = 4 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{32}{17};
\)

\(
y_2 = \frac{1 + 33}{2 \cdot 34} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2;
\)

Область определения:
\(
x + 2y > 0, \quad x — 2y > 0;
\)

\(
x > -2y, \quad x > 2y;
\)

Ответ:
\(
\left(2; \frac{1}{2}\right).
\)

6)
\(
\begin{cases}
x^{\log y} = 2 \\
xy = 20
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
y = \frac{20}{x};
\)

Первое уравнение:
\(
x^{\log \frac{20}{x}} = 2;
\)

\(
\log x^{\log \frac{20}{x}} = \log 2;
\)

\(
\log \frac{20}{x} \cdot \log x = \log 2;
\)

Раскроем логарифмы:
\(
(\log 20 — \log x) \cdot \log x = \log 2;
\)

\(
(\log 2 + \log 10 — \log x) \cdot \log x = \log 2;
\)

\(
\log 2 \cdot \log x + \log 10 \cdot \log x — (\log x)^2 = \log 2;
\)

\(
(\log x)^2 — (\log 2 + 1) \cdot \log x + \log 2 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = (\log 2 + 1)^2 — 4 \log 2;
\)

\(
D = (\log 2)^2 + 2 \log 2 + 1 — 4 \log 2;
\)

\(
D = (\log 2)^2 — 2 \log 2 + 1 = (\log 2 — 1)^2;
\)

Тогда:
\(
\log x_1 = \frac{(\log 2 + 1) — (\log 2 — 1)}{2} = 1;
\)

\(
\log x_2 = \frac{(\log 2 + 1) + (\log 2 — 1)}{2} = \log 2;
\)

\(
x_1 = 10^1 = 10, \quad y_1 = \frac{20}{10} = 2;
\)

\(
x_2 = 2, \quad y_2 = \frac{20}{2} = 10;
\)

Область определения:
\(
y > 0;
\)

Ответ:
\(
(2; 10); (10; 2).
\)

1)
Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
9^x — 4 \cdot 3^{5 — y} + 27 = 0 \\
\lg(2y — 3x) = \lg(4 — 4x + y)
\end{cases}
\)

Второе уравнение можно переписать как:
\(
2y — 3x = 4 — 4x + y
\)

Перенесём все члены в одну сторону:
\(
2y — 3x — 4 + 4x — y = 0
\)

Упростим:
\(
y + x — 4 = 0
\)

Отсюда выражаем \(y\):
\(
y = 4 — x
\)

Подставим это в первое уравнение:
\(
9^x — 4 \cdot 3^{5 — (4 — x)} + 27 = 0
\)

Упростим показатель степени во втором слагаемом:
\(
9^x — 4 \cdot 3^{5 — 4 + x} + 27 = 0
\)

\(
9^x — 4 \cdot 3^{1 + x} + 27 = 0
\)

Поскольку \(9 = 3^2\), то:
\(
(3^2)^x — 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0
\)

\(
3^{2x} — 4 \cdot 3^{x+1} + 27 = 0
\)

Вынесем множитель:
\(
3^{2x} — 4 \cdot 3 \cdot 3^{x} + 27 = 0
\)

\(
3^{2x} — 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0
\)

Обозначим:
\(
t = 3^{x}
\)

Тогда уравнение становится квадратным:
\(
t^{2} — 12 t + 27 = 0
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 — 108 = 36
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{12 — 6}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{12 + 6}{2} = 9
\)

Вернёмся к \(x\):
\(
3^{x_1} = 3 — x_1 = 1
\)

\(
3^{x_2} = 9 — x_2 = 2
\)

Вычислим соответствующие \(y\):
\(
y_1 = 4 — 1 = 3, \quad y_2 = 4 — 2 = 2
\)

Проверим область определения из второго уравнения:
\(
2y — 3x > 0 — 2y > 3x — y > \frac{3}{2} x
\)

Для \((x_1, y_1) = (1, 3)\):
\(
3 > \frac{3}{2} \cdot 1 = 1.5 \quad \text{верно}
\)

Для \((x_2, y_2) = (2, 2)\):
\(
2 > \frac{3}{2} \cdot 2 = 3 \quad \text{неверно}
\)

Значит, решение \((2; 2)\) не подходит.

Ответ:
\(
(1; 3)
\)

2)
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x^{\log_3 y} + y^{\log_3 x} = 18 \\
\log_3 x + \log_3 y = 3
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_3 (xy) = 3 — xy = 3^3 = 27
\)

Первое уравнение:
\(
x^{\log_3 y} + y^{\log_3 x} = 18
\)

Поскольку \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\), то \(x^{\log_3 y} = y^{\log_3 x}\). Значит:
\(
2 \cdot y^{\log_3 x} = 18 — y^{\log_3 x} = 9
\)

Подставим \(x = \frac{27}{y}\) из второго уравнения:
\(
y^{\log_3 \frac{27}{y}} = 9
\)

Возьмём логарифм по основанию 3 от обеих частей:
\(
\log_3 \left(y^{\log_3 \frac{27}{y}}\right) = \log_3 9
\)

\(
\log_3 \frac{27}{y} \cdot \log_3 y = 2
\)

Раскроем:
\(
(\log_3 27 — \log_3 y) \cdot \log_3 y = 2
\)

\(
(3 — \log_3 y) \cdot \log_3 y = 2
\)

Обозначим \(t = \log_3 y\), тогда:
\(
3t — t^2 = 2
\)

Переносим в стандартный вид:
\(
t^2 — 3t + 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\)

Найдём \(y\):
\(
y_1 = 3^{1} = 3, \quad y_2 = 3^{2} = 9
\)

Вычислим \(x\):
\(
x_1 = \frac{27}{3} = 9, \quad x_2 = \frac{27}{9} = 3
\)

Проверим область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0
\)

Ответ:
\(
(3; 9), (9; 3)
\)

3)
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x^{\log_8 y} + y^{\log_8 x} = 4 \\
\log_4 x — \log_4 y = 1
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_4 \frac{x}{y} = 1 — \frac{x}{y} = 4^1 = 4
\)

Отсюда:
\(
x = 4y
\)

Первое уравнение:
\(
x^{\log_8 y} + y^{\log_8 x} = 4
\)

Поскольку \(x^{\log_8 y} = y^{\log_8 x}\), то:
\(
2 \cdot y^{\log_8 x} = 4 — y^{\log_8 x} = 2
\)

Подставим \(x = 4y\):
\(
y^{\log_8 (4y)} = 2
\)

Возьмём логарифм по основанию 8:
\(
\log_8 \left(y^{\log_8 (4y)}\right) = \log_8 2
\)

\(
\log_8 (4y) \cdot \log_8 y = \frac{1}{3}
\)

Поскольку \(\log_8 4 = \frac{2}{3}\), то:
\(
\left(\frac{2}{3} + \log_8 y\right) \cdot \log_8 y = \frac{1}{3}
\)

Обозначим \(t = \log_8 y\), тогда:
\(
\left(\frac{2}{3} + t\right) t = \frac{1}{3}
\)

Раскроем скобки:
\(
\frac{2}{3} t + t^2 = \frac{1}{3}
\)

Умножим на 3 для удобства:
\(
2 t + 3 t^2 = 1
\)

Переносим в стандартный вид:
\(
3 t^2 + 2 t — 1 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1, \quad t_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\)

Найдём \(y\):
\(
y_1 = 8^{-1} = \frac{1}{8}, \quad y_2 = 8^{\frac{1}{3}} = 2
\)

Вычислим \(x\):
\(
x_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 4 \cdot 2 = 8
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}\right), (8; 2)
\)

4)
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\
xy = 27
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
x = \frac{27}{y}
\)

Первое уравнение заметим, что \(\log_x y = \frac{1}{\log_y x}\), поэтому:
\(
\log_y x + \frac{1}{\log_y x} = \frac{5}{2}
\)

Обозначим:
\(
t = \log_y x
\)

Тогда:
\(
t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}
\)

Умножим на \(2t\):
\(
2 t^2 — 5 t + 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{5 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2
\)

Вернёмся к логарифму:
\(
\log_y x = t
\)

Первый случай:
\(
\log_y x = \frac{1}{2} — x = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}
\)

Второй случай:
\(
\log_y x = 2 — x = y^2
\)

Подставим в уравнение \(xy = 27\):

Для \(x = \sqrt{y}\):
\(
\sqrt{y} \cdot y = y^{\frac{3}{2}} = 27
\)

Отсюда:
\(
y^{\frac{3}{2}} = 27
\)

Возьмём обе части в степени \(\frac{2}{3}\):
\(
y = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9
\)

Тогда:
\(
x = \sqrt{9} = 3
\)

Для \(x = y^2\):
\(
y^2 \cdot y = y^3 = 27
\)

Отсюда:
\(
y^3 = 27 — y = 3
\)

Тогда:
\(
x = y^2 = 3^2 = 9
\)

Проверим область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0, \quad x \neq 1, \quad y \neq 1
\)

Ответ:
\(
(3; 9), (9; 3)
\)

5)
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
\log_3 (x + 2y) + \log_{\frac{1}{3}} (x — 2y) = 1 \\
x^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y
\end{cases}
\)

Первое уравнение перепишем, учитывая, что \(\log_{\frac{1}{3}} a = — \log_3 a\):
\(
\log_3 (x + 2y) — \log_3 (x — 2y) = 1
\)

Объединим логарифмы:
\(
\log_3 \frac{x + 2y}{x — 2y} = 1
\)

Тогда:
\(
\frac{x + 2y}{x — 2y} = 3^1 = 3
\)

Раскроем:
\(
x + 2y = 3(x — 2y)
\)

\(
x + 2y = 3x — 6y
\)

Переносим в одну сторону:
\(
x + 2y — 3x + 6y = 0
\)

\(
-2x + 8y = 0 — 2x = 8y — x = 4y
\)

Подставим во второе уравнение:
\(
(4y)^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y
\)

\(
16 y^2 + y^2 = 4 + \frac{1}{2} y
\)

\(
17 y^2 — \frac{1}{2} y — 4 = 0
\)

Умножим на 2 для удобства:
\(
34 y^2 — y — 8 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 34 \cdot (-8) = 1 + 1088 = 1089
\)

Корни:
\(
y_1 = \frac{1 — 33}{2 \cdot 34} = \frac{-32}{68} = -\frac{8}{17}
\)

\(
y_2 = \frac{1 + 33}{2 \cdot 34} = \frac{34}{68} = \frac{1}{2}
\)

Вычислим \(x\):
\(
x_1 = 4 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{32}{17}
\)

\(
x_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
\)

Проверим область определения:
\(
x + 2y > 0, \quad x — 2y > 0
\)

Для \((x_1, y_1)\):
\(
x_1 + 2 y_1 = -\frac{32}{17} + 2 \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{32}{17} — \frac{16}{17} = -\frac{48}{17} < 0
\)

Не подходит.

Для \((x_2, y_2)\):
\(
2 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3 > 0
\)

\(
2 — 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 — 1 = 1 > 0
\)

Подходит.

Ответ:
\(
\left(2; \frac{1}{2}\right)
\)

6)
Рассмотрим систему:
\(
\begin{cases}
x^{\log y} = 2 \\
xy = 20
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
y = \frac{20}{x}
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
x^{\log \frac{20}{x}} = 2
\)

Возьмём логарифм по основанию 10 от обеих частей:
\(
\log \left(x^{\log \frac{20}{x}}\right) = \log 2
\)

\(
\log \frac{20}{x} \cdot \log x = \log 2
\)

Раскроем:
\(
(\log 20 — \log x) \cdot \log x = \log 2
\)

\(
(\log 2 + \log 10 — \log x) \cdot \log x = \log 2
\)

\(
\log 2 \cdot \log x + \log 10 \cdot \log x — (\log x)^2 = \log 2
\)

Обозначим \(t = \log x\), тогда:
\(
t^2 — (\log 2 + 1) t + \log 2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (\log 2 + 1)^2 — 4 \log 2
\)

Раскроем:
\(
D = (\log 2)^2 + 2 \log 2 + 1 — 4 \log 2 = (\log 2)^2 — 2 \log 2 + 1 = (\log 2 — 1)^2
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{(\log 2 + 1) — (\log 2 — 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1
\)

\(
t_2 = \frac{(\log 2 + 1) + (\log 2 — 1)}{2} = \frac{2 \log 2}{2} = \log 2
\)

Найдём \(x\):
\(
x_1 = 10^{t_1} = 10^1 = 10, \quad x_2 = 10^{t_2} = 10^{\log 2} = 2
\)

Вычислим \(y\):
\(
y_1 = \frac{20}{10} = 2, \quad y_2 = \frac{20}{2} = 10
\)

Область определения:
\(
y > 0
\)

Ответ:
\(
(2; 10), (10; 2)
\)