ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Решите систему уравнений:}
\)

Вот переформулированные системы уравнений в формате LaTeX с заменой квадратных скобок на круглые:

1)
\(
\begin{cases}
4^x + 2^y = 12 \\
\lg(3x — 2y) = \lg(5 + x — 3y)
\end{cases}
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16 \\
\log_2 x — \log_2 y = 2
\end{cases}
\)

3)
\(
\begin{cases}
\log_x(3x + 2y) = 2 \\
\log_y(2x + 3y) = 2
\end{cases}
\)

4)
\(
\begin{cases}
2 — \log_2 y = 2 \log_2 (x + y) \\
\log_2 (x + y) + \log_2 (x^2 — xy + y^2) = 1
\end{cases}
\)

5)
\(
\begin{cases}
(x + y) 3^{(y — x)} = \frac{5}{27} \\
3 \log_5 (x + y) = x — y
\end{cases}
\)

1)
\(
\begin{cases}
4^x + 2^y = 12 \\
\lg(3x — 2y) = \lg(5 + x — 3y)
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
3x — 2y = 5 + x — 3y; \quad y = 5 — 2x;
\)

Первое уравнение:
\(
4^x + 2^{5 — 2x} = 12;
\)

\(
4^x + \frac{32}{4^x} — 12 = 0;
\)

\(
4^{2x} — 12 \cdot 4^x + 32 = 0;
\)

\(
D = 12^2 — 4 \cdot 32 = 144 — 128 = 16,
\)

тогда:
\(
4^{x_1} = \frac{12 — 4}{2} = 4 \quad \text{и} \quad 4^{x_2} = \frac{12 + 4}{2} = 8;
\)

\(
x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 1.5;
\)

\(
y_1 = 5 — 2 = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = 5 — 3 = 2;
\)

Область определения:
\(
3x — 2y > 0;
\)

\(
2y < 3x;
\)

\(
y < 1.5x;
\)

Ответ:
\(
(1.5; 2).
\)

2)
\(
\begin{cases}
x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16 \\
\log_2 x — \log_2 y = 2
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_2 \frac{x}{y} = 2;
\)

\(
\frac{x}{y} = 2^2;
\)

\(
x = 4y;
\)
\(
y^{\log_2 x} + y^{\log_2 x} = 16;
\)
\(
2 \cdot y^{\log_2 x} = 16;
\)
\(
y^{\log_2 (4y)} = 8;
\)
\(
\log_2 y^{\log_2 (4y)} = \log_2 8;
\)
\(
\log_2 (4y) \cdot \log_2 y = 3;
\)
\(
(\log_2 4 + \log_2 y) \cdot \log_2 y = 3;
\)
\(
2 \log_2 y + (\log_2 y)^2 = 3;
\)
\(
(\log_2 y)^2 + 2 \log_2 y — 3 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
\log_2 y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad y_1 = 2^{-3} = \frac{1}{8};
\)
\(
\log_2 y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad y_2 = 2^{1} = 2;
\)
\(
x_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 4 \cdot 2 = 8;
\)
Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0;
\)
Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}\right); \quad (8; 2).
\)

\(
\begin{cases}
\log_x (3x + 2y) = 2 \\
\log_y (2x + 3y) = 2
\end{cases}
\)
Первое уравнение:
\(
3x + 2y = x^2;
\)
Второе уравнение:
\(
2x + 3y = y^2;
\)
Разность уравнений:
\(
3x + 2y — (2x + 3y) = x^2 — y^2;
\)
\(
(x — y) = (x — y)(x + y);
\)
\(
(x — y)(x + y — 1) = 0;
\)
\(
y_1 = x, \quad y_2 = 1 — x.
\)

Первое значение:
\(
3x + 2y = x^2; \quad x^2 — 5x = 0; \quad x(x — 5) = 0;
\)

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5;
\)

\(
y_1 = 0, \quad y_2 = 5;
\)

Второе значение:
\(
3x + 2(1 — x) = x^2;
\)

\(
3x + 2 — 2x = x^2;
\)

\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)

\(
y_1 = 1 + 1 = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = 1 — 2 = -1;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0; \quad x \neq 1, \quad y \neq 1;
\)

Ответ:
\(
(5; 5).
\)

4)
\(
\begin{cases}
2 — \log_2 y = 2 \log_2 (x + y) \\
\log_2 (x + y) + \log_2 (x^2 — xy + y^2) = 1
\end{cases}
\)

Первое уравнение:
\(
\log_2 4 — \log_2 y = \log_2 (x + y)^2;
\)

\(
\log_2 \frac{4}{y} = \log_2 (x + y)^2;
\)

\(
\frac{4}{y} = (x + y)^2;
\)

\(
y (x + y)^2 = 4;
\)

Второе уравнение:
\(
\log_2 (x + y)(x^2 — xy + y^2) = \log_2 2^1;
\)

\(
(x + y)(x^2 — xy + y^2) = 2;
\)

\(
x^3 + y^3 = 2;
\)

Частное уравнений:
\(
\frac{y(x+y)}{x^2 — xy + y^2} = 2;
\)

\(
xy + y^2 = 2(x^2 — xy + y^2);
\)

\(
xy + y^2 = 2x^2 — 2xy + 2y^2;
\)

\(
2x^2 — 3xy + y^2 = 0;
\)

\(
D = (3y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot y^2 = 9y^2 — 8y^2 = y^2,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{3y — y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}, \quad x_2 = \frac{3y + y}{2 \cdot 2} = y;
\)

Первое значение:
\(
\left(\frac{y}{2}\right)^3 + y^3 = 2;
\)

\(
\frac{y^3}{8} + y^3 = 2;
\)

\(
\frac{9}{8} y^3 = 2;
\)

\(
y^3 = \frac{16}{9} = \frac{48}{27};
\)

\(
y = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{3}, \quad x = \frac{\sqrt[3]{6}}{3};
\)

Второе значение:
\(
y^3 + y^3 = 2;
\)

\(
2 \cdot y^3 = 2;
\)

\(
y^3 = 1;
\)

\(
y = 1, \quad x = 1;
\)

Область определения:
\(
x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad x + y > 0;
\)

\(
x > 0, \quad y > 0, \quad y > -x;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{3}; \frac{2 \sqrt[3]{6}}{3}\right); \quad (1; 1).
\)

5)
\(
\begin{cases}
(x + y)^{3y — x} = \frac{5}{27} \\
3 \log_5 (x + y) = x — y
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_5 (x + y) = \frac{x — y}{3};
\)

\(
x + y = 5^{\frac{x — y}{3}};
\)

Первое уравнение:
\(
5^{\frac{x — y}{3}} \cdot 3^{y — x} = \frac{5}{27};
\)

\(
5^{\frac{x — y}{3}} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}} = \frac{5}{27};
\)

\(
\left(\frac{5}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}} = \frac{5}{27};
\)

\(
\frac{x — y}{3} = 1;
\)

\(
x — y = 3;
\)

\(
y = x — 3;
\)

Подставим значение:
\(
x + (x — 3) = 5^{\frac{x — (x — 3)}{3}};
\)

\(
2x — 3 = 5^1;
\)

\(
2x — 3 = 5;
\)

\(
2x = 8;
\)

\(
x = 4;
\)

\(
y = 4 — 3 = 1;
\)

Область определения:
\(
x + y > 0, \quad y > -x;
\)

Ответ:
\(
(4; 1).
\)

1)
Система уравнений:
\(
\begin{cases}
4^x + 2^y = 12 \\
\lg(3x — 2y) = \lg(5 + x — 3y)
\end{cases}
\)

Из второго уравнения, поскольку логарифмы равны, равны и их аргументы (при условии области определения):
\(
3x — 2y = 5 + x — 3y
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
3x — 2y — x + 3y = 5
\)

\(
2x + y = 5
\)

Выразим \(y\):
\(
y = 5 — 2x
\)

Подставим \(y\) в первое уравнение:
\(
4^x + 2^{5 — 2x} = 12
\)

Запишем \(2^{5 — 2x}\) как:
\(
2^{5} \cdot 2^{-2x} = 32 \cdot 2^{-2x}
\)

Поскольку \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\), то:
\(
4^x = 2^{2x}
\)

Таким образом:
\(
2^{2x} + 32 \cdot 2^{-2x} = 12
\)

Обозначим \(t = 2^{2x}\), тогда \(2^{-2x} = \frac{1}{t}\), и уравнение принимает вид:
\(
t + \frac{32}{t} = 12
\)

Умножим на \(t\):
\(
t^2 + 32 = 12t
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
t^2 — 12t + 32 = 0
\)

Найдем дискриминант:
\(
D = (-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 — 128 = 16
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{12 — 4}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{12 + 4}{2} = 8
\)

Вспомним, что \(t = 2^{2x} = 4^x\), значит:
\(
4^x = 4 — x = 1
\)

\(
4^x = 8 — 2^{2x} = 8 — 2x = 3 — x = 1.5
\)

Найдём соответствующие \(y\):
\(
y = 5 — 2x
\)

Для \(x=1\):
\(
y = 5 — 2 \cdot 1 = 3
\)

Для \(x=1.5\):
\(
y = 5 — 2 \cdot 1.5 = 5 — 3 = 2
\)

Проверим область определения из второго уравнения:
\(
3x — 2y > 0
\)

Подставим \(y\):
\(
3x — 2(5 — 2x) > 0
\)

\(
3x — 10 + 4x > 0
\)

\(
7x > 10
\)

\(
x > \frac{10}{7} \approx 1.43
\)

Из двух значений \(x = 1\) и \(x = 1.5\) подходит только \(x=1.5\).

Ответ:
\(
(1.5; 2)
\)

2)
Система уравнений:
\(
\begin{cases}
x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16 \\
\log_2 x — \log_2 y = 2
\end{cases}
\)

Из второго уравнения:
\(
\log_2 \frac{x}{y} = 2
\)

Значит:
\(
\frac{x}{y} = 2^2 = 4
\)

Отсюда:
\(
x = 4y
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
x^{\log_2 y} + y^{\log_2 x} = 16
\)

Обратим внимание, что \(y^{\log_2 x} = y^{\log_2 (4y)}\).

Подставим \(x=4y\):
\(
(4y)^{\log_2 y} + y^{\log_2 (4y)} = 16
\)

Заметим, что \(a^{\log_b c} = c^{\log_b a}\), но здесь проще работать с выражением как есть.

Преобразуем:
\(
(4y)^{\log_2 y} + y^{\log_2 (4y)} = 2 \cdot y^{\log_2 (4y)} = 16
\)

Потому что \( (4y)^{\log_2 y} = y^{\log_2 (4y)} \) (по свойствам логарифмов и степеней).

Отсюда:
\(
2 \cdot y^{\log_2 (4y)} = 16
\)

\(
y^{\log_2 (4y)} = 8
\)

Возьмём логарифм по основанию 2 от обеих частей:
\(
\log_2 \left(y^{\log_2 (4y)}\right) = \log_2 8
\)

\(
\log_2 (4y) \cdot \log_2 y = 3
\)

Пусть \(t = \log_2 y\), тогда:
\(
(\log_2 4 + t) \cdot t = 3
\)

\(
(2 + t) t = 3
\)

\(
t^2 + 2t — 3 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Корни:
\(
t_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1
\)

Соответственно:
\(
y_1 = 2^{-3} = \frac{1}{8}, \quad y_2 = 2^{1} = 2
\)

Найдём \(x\):
\(
x = 4y
\)

\(
x_1 = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = 4 \cdot 2 = 8
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{8}\right), \quad (8; 2)
\)

3)
Система уравнений:
\(
\begin{cases}
\log_x (3x + 2y) = 2 \\
\log_y (2x + 3y) = 2
\end{cases}
\)

Из первого уравнения:
\(
3x + 2y = x^2
\)

Из второго уравнения:
\(
2x + 3y = y^2
\)

Вычтем второе уравнение из первого:
\(
(3x + 2y) — (2x + 3y) = x^2 — y^2
\)

\(
x — y = (x — y)(x + y)
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
(x — y)(x + y — 1) = 0
\)

Отсюда два варианта:
\(
y_1 = x, \quad y_2 = 1 — x
\)

Рассмотрим первый вариант \(y = x\):

Подставим в первое уравнение:
\(
3x + 2x = x^2
\)

\(
5x = x^2
\)

\(
x^2 — 5x = 0
\)

\(
x(x — 5) = 0
\)

Корни:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5
\)

При \(x=0\), \(y=0\); при \(x=5\), \(y=5\).

Рассмотрим второй вариант \(y = 1 — x\):

Подставим в первое уравнение:
\(
3x + 2(1 — x) = x^2
\)

\(
3x + 2 — 2x = x^2
\)

\(
x + 2 = x^2
\)

\(
x^2 — x — 2 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Найдём \(y\):
\(
y_1 = 1 — (-1) = 2, \quad y_2 = 1 — 2 = -1
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0, \quad x \neq 1, \quad y \neq 1
\)

Из найденных решений подходят только:
\(
(5; 5)
\)

4)
Система уравнений:
\(
\begin{cases}
2 — \log_2 y = 2 \log_2 (x + y) \\
\log_2 (x + y) + \log_2 (x^2 — xy + y^2) = 1
\end{cases}
\)

Первое уравнение перепишем так:
\(
\log_2 4 — \log_2 y = \log_2 (x + y)^2
\)

\(
\log_2 \frac{4}{y} = \log_2 (x + y)^2
\)

Откуда:
\(
\frac{4}{y} = (x + y)^2
\)

Перемножим обе части:
\(
y (x + y)^2 = 4
\)

Второе уравнение:
\(
\log_2 (x + y) + \log_2 (x^2 — xy + y^2) = 1
\)

Объединим логарифмы:
\(
\log_2 \left[(x + y)(x^2 — xy + y^2)\right] = 1
\)

Откуда:
\(
(x + y)(x^2 — xy + y^2) = 2
\)

Заметим, что:
\(
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)
\)

Следовательно:
\(
x^3 + y^3 = 2
\)

Частное уравнение:
\(
\frac{y(x + y)}{x^2 — xy + y^2} = 2
\)

Раскроем:
\(
xy + y^2 = 2(x^2 — xy + y^2)
\)

\(
xy + y^2 = 2x^2 — 2xy + 2y^2
\)

Переносим все в одну сторону:
\(
2x^2 — 3xy + y^2 = 0
\)

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(
2x^2 — 3y x + y^2 = 0
\)

Дискриминант:
\(
D = (-3y)^2 — 4 \cdot 2 \cdot y^2 = 9y^2 — 8y^2 = y^2
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{3y — y}{2 \cdot 2} = \frac{2y}{4} = \frac{y}{2}
\)

\(
x_2 = \frac{3y + y}{2 \cdot 2} = \frac{4y}{4} = y
\)

Подставим в уравнение \(x^3 + y^3 = 2\):

Для первого корня:
\(
\left(\frac{y}{2}\right)^3 + y^3 = 2
\)

\(
\frac{y^3}{8} + y^3 = 2
\)

\(
\frac{9}{8} y^3 = 2
\)

\(
y^3 = \frac{16}{9} = \frac{48}{27}
\)

\(
y = \sqrt[3]{\frac{48}{27}} = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{3}
\)

Тогда:
\(
x = \frac{y}{2} = \frac{\sqrt[3]{6}}{3}
\)

Для второго корня:
\(
y^3 + y^3 = 2
\)

\(
2 y^3 = 2
\)

\(
y^3 = 1
\)

\(
y = 1, \quad x = 1
\)

Область определения:
\(
x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad x + y > 0
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{\sqrt[3]{6}}{3}; \frac{2 \sqrt[3]{6}}{3}\right), \quad (1; 1)
\)

5)
Система уравнений:
\(
\begin{cases}
(x + y)^{3y — x} = \frac{5}{27} \\
3 \log_5 (x + y) = x — y
\end{cases}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_5 (x + y) = \frac{x — y}{3}
\)

Откуда:
\(
x + y = 5^{\frac{x — y}{3}}
\)

Подставим в первое уравнение:
\(
\left(5^{\frac{x — y}{3}}\right)^{3y — x} = \frac{5}{27}
\)

Перепишем левую часть:
\(
5^{\frac{x — y}{3} \cdot (3y — x)} = \frac{5}{27}
\)

Рассмотрим отдельно произведение в степени:
\(
\frac{x — y}{3} \cdot (3y — x) = \frac{(x — y)(3y — x)}{3}
\)

Заменим \(3^{y — x}\) на \(\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}}\), так как
\(
3^{y — x} = 3^{-(x — y)} = \left(3^{-1}\right)^{x — y} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x — y}
\)

А \(\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3\), значит:
\(
3^{y — x} = \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}}
\)

Таким образом первое уравнение переписывается как:
\(
5^{\frac{x — y}{3}} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}} = \frac{5}{27}
\)

\(
\left(\frac{5}{27}\right)^{\frac{x — y}{3}} = \frac{5}{27}
\)

Отсюда:
\(
\frac{x — y}{3} = 1
\)

\(
x — y = 3
\)

Отсюда:
\(
y = x — 3
\)

Подставим в выражение для \(x + y\):
\(
x + (x — 3) = 5^{\frac{x — (x — 3)}{3}} = 5^{1} = 5
\)

\(
2x — 3 = 5
\)

\(
2x = 8
\)

\(
x = 4
\)

\(
y = 4 — 3 = 1
\)

Область определения:
\(
x + y > 0, \quad y > -x
\)

Ответ:
\(
(4; 1)
\)