ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_{7} (x+8) = -x\)

2) \((\log_{2} x)^2 + (x-1) \log_{2} x = 6 — 2x\)

1)
\(
\log_7 (x + 8) = -x;
\)
\(
x + 8 = 7^{-x};
\)
\(y = x + 8\) — возрастает;
\(g = 7^{-x}\) — убывает;
\(y(-1) = -1 + 8 = 7;\)
\(g(-1) = 7^{-(-1)} = 7;\)
Ответ: \(-1\).

2)
\(
\log_2^2 x + (x — 1) \log_2 x = 6 — 2x;
\)
\(
\log_2^2 x + (x — 1) \cdot \log_2 x — (6 — 2x) = 0;
\)
\(
D = (x — 1)^2 + 4 \cdot (6 — 2x);
\)
\(
D = x^2 — 2x + 1 + 24 — 8x;
\)
\(
D = x^2 — 10x + 25 = (x — 5)^2,
\)
тогда:
\(
\log_2 x_1 = \frac{-(x — 1) — (x — 5)}{2} = 3 — x;
\)
\(
\log_2 x_2 = \frac{-(x — 1) + (x — 5)}{2} = -2;
\)

\(y = \log_2 x\) — возрастает;
\(g = 3 — x\) — убывает;
\(
y(2) = \log_2 2 = 1;
\)
\(
g(2) = 3 — 2 = 1;
\)

\(
x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4};
\)

Ответ: \(\frac{1}{4}; 2\).

1) Уравнение:
\(
\log_7 (x + 8) = -x
\)

Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:
\(
x + 8 = 7^{-x}
\)

Определим функции:
\(
y = x + 8
\)
и
\(
g = 7^{-x}
\)

Функция \(y = x + 8\) является возрастающей, так как производная равна 1 (положительна).

Функция \(g = 7^{-x}\) является убывающей, так как основание \(7 > 1\), а знак минуса в показателе меняет направление монотонности.

Проверим значение функций в точке \(x = -1\):
\(
y(-1) = -1 + 8 = 7
\)
\(
g(-1) = 7^{-(-1)} = 7^{1} = 7
\)

Так как обе функции равны при \(x = -1\), а одна возрастает, другая убывает, пересечение ровно одно — при \(x = -1\).

Ответ:
\(
x = -1
\)

2) Уравнение:
\(
\log_2^2 x + (x — 1) \log_2 x = 6 — 2x
\)

Перенесём все в одну сторону:
\(
\log_2^2 x + (x — 1) \log_2 x — (6 — 2x) = 0
\)

Обозначим:
\(
t = \log_2 x
\)

Тогда уравнение становится квадратным относительно \(t\):
\(
t^2 + (x — 1) t — (6 — 2x) = 0
\)

Дискриминант \(D\) по формуле:
\(
D = (x — 1)^2 + 4 \cdot (6 — 2x)
\)

Раскроем скобки и упростим:
\(
D = (x — 1)^2 + 24 — 8x = x^2 — 2x + 1 + 24 — 8x = x^2 — 10x + 25
\)

Заметим, что:
\(
D = (x — 5)^2
\)

Корни уравнения для \(t\):
\(
t_1 = \frac{-(x — 1) — (x — 5)}{2} = \frac{-x + 1 — x + 5}{2} = \frac{6 — 2x}{2} = 3 — x
\)
\(
t_2 = \frac{-(x — 1) + (x — 5)}{2} = \frac{-x + 1 + x — 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\)

Вспомним, что \(t = \log_2 x\), значит:
\(
\log_2 x_1 = 3 — x
\)
\(
\log_2 x_2 = -2
\)

Рассмотрим функции:
\(
y = \log_2 x
\)
которая является возрастающей функцией, и
\(
g = 3 — x
\)
которая является убывающей функцией.

Проверим значение функций в точке \(x = 2\):
\(
y(2) = \log_2 2 = 1
\)
\(
g(2) = 3 — 2 = 1
\)

Это подтверждает, что при \(x=2\) функции равны.

Найдём \(x_2\) из уравнения:
\(
\log_2 x_2 = -2 — x_2 = 2^{-2} = \frac{1}{4}
\)

Ответ:
\(
x = \frac{1}{4} \quad \text{или} \quad x = 2
\)