ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_{\frac{1}{3}} (x-5) = x — 9\)

2) \((\log_{3} x)^{2} + (x-1) \log_{3} x = 12 — 3x\)

1)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x — 5) = x — 9;
\)
\(y = \log_{\frac{1}{3}} (x — 5)\) — убывает;
\(g = x — 9\) — возрастает;
\(
y(8) = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1;
\)
\(
g(8) = 8 — 9 = -1;
\)
Ответ: 8.

2)
\(
\log_3^2 x + (x — 1) \log_3 x = 12 — 3x;
\)
\(
\log_3^2 x + (x — 1) \cdot \log_3 x — (12 — 3x) = 0;
\)
\(
D = (x — 1)^2 + 4 \cdot (12 — 3x);
\)
\(
D = x^2 — 2x + 1 + 48 — 12x;
\)
\(
D = x^2 — 14x + 49 = (x — 7)^2,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-(x — 1) — (x — 7)}{2} = 4 — x;
\)
\(
x_2 = \frac{-(x — 1) + (x — 7)}{2} = -3;
\)

\(y = \log_3 x\) — возрастает;
\(g = 4 — x\) — убывает;
\(
y(3) = \log_3 3 = 1;
\)
\(
g(3) = 4 — 3 = 1;
\)
\(
x_2 = 3^{-3} = \frac{1}{27};
\)

Ответ: \(\frac{1}{27}; 3\).

1) Уравнение:
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x — 5) = x — 9
\)

Область определения:
\(
x — 5 > 0 — x > 5
\)

Обозначим:
\(
y = \log_{\frac{1}{3}} (x — 5)
\)
и
\(
g = x — 9
\)

Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} (x — 5)\) убывает, так как основание логарифма \(\frac{1}{3}\) меньше 1.
Функция \(g = x — 9\) — возрастающая линейная функция.

Проверим значение функций в точке \(x = 8\):
\(
y(8) = \log_{\frac{1}{3}} (8 — 5) = \log_{\frac{1}{3}} 3
\)

Логарифм с основанием \(\frac{1}{3}\) от 3 можно выразить через логарифм с основанием 3:
\(
\log_{\frac{1}{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{1}{-1} = -1
\)

Значение \(g(8)\):
\(
g(8) = 8 — 9 = -1
\)

Так как \(y(8) = g(8)\), а \(y\) убывает, \(g\) возрастает, то уравнение имеет единственное решение \(x = 8\).

2) Уравнение:
\(
\log_3^2 x + (x — 1) \log_3 x = 12 — 3x
\)

Перенесём все в одну сторону:
\(
\log_3^2 x + (x — 1) \log_3 x — (12 — 3x) = 0
\)

Обозначим:
\(
t = \log_3 x
\)

Тогда уравнение принимает вид:
\(
t^2 + (x — 1) t — (12 — 3x) = 0
\)

Это квадратное уравнение относительно \(t\) с коэффициентами, зависящими от \(x\).

Вычислим дискриминант \(D\):
\(
D = (x — 1)^2 + 4 \cdot (12 — 3x) = x^2 — 2x + 1 + 48 — 12x = x^2 — 14x + 49
\)

Заметим, что:
\(
D = (x — 7)^2
\)

Корни уравнения для \(t\):
\(
t_1 = \frac{-(x — 1) — (x — 7)}{2} = \frac{-x + 1 — x + 7}{2} = \frac{8 — 2x}{2} = 4 — x
\)
\(
t_2 = \frac{-(x — 1) + (x — 7)}{2} = \frac{-x + 1 + x — 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\)

Вспомним, что \(t = \log_3 x\), значит:
\(
\log_3 x = 4 — x \quad \text{или} \quad \log_3 x = -3
\)

Рассмотрим функции:
\(
y = \log_3 x
\)
которая является возрастающей функцией, и
\(
g = 4 — x
\)
которая является убывающей функцией.

Проверим значение функций в точке \(x = 3\):
\(
y(3) = \log_3 3 = 1
\)
\(
g(3) = 4 — 3 = 1
\)

Это подтверждает, что при \(x = 3\) функции равны.

Рассчитаем второй корень из уравнения \( \log_3 x = -3 \):
\(
x = 3^{-3} = \frac{1}{27}
\)

Проверим область определения:
\(
x > 0
\)
Оба корня \(x = 3\) и \(x = \frac{1}{27}\) удовлетворяют этому условию.

Ответы:
\(
1) \quad x = 8
\)
\(
2) \quad x = \frac{1}{27}, \quad x = 3
\)