ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\lg^2 (x+1) = \lg (x+1) \cdot \lg (x-1) + 2 \lg^2 (x-1).
\)

\(
\lg^2 (x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2 \lg^2 (x-1);
\)
\(
\lg^2 (x+1) — \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) — 2 \lg^2 (x-1) = 0;
\)
\(
\frac{\lg^2 (x+1)}{\lg^2 (x-1)} — \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} — 2 = 0;
\)
\(
\log_{x-1}^2 (x+1) — \log_{x-1} (x+1) — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;
\)

1) Первое значение:
\(
\log_{x-1} (x+1) = \frac{1 — 3}{2} = -1;
\)
\(
x + 1 = (x — 1)^{-1};
\)
\(
(x + 1)(x — 1) = 1;
\)
\(
x^2 — 1 = 1;
\)
\(
x^2 = 2;
\)
\(
x = \pm \sqrt{2};
\)

2) Второе значение:
\(
\log_{x-1} (x+1) = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
x + 1 = (x — 1)^2;
\)
\(
x + 1 = x^2 — 2x + 1;
\)
\(
x^2 — 3x = 0;
\)
\(
x(x — 3) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3;
\)

3) Область определения:
\(
x + 1 > 0, \quad x — 1 > 0;
\)
\(
x > -1, \quad x > 1;
\)

Ответ:
\(
\sqrt{2}, \quad 3.
\)

Рассмотрим уравнение:

\(
\lg^2 (x+1) = \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) + 2 \lg^2 (x-1).
\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(
\lg^2 (x+1) — \lg(x+1) \cdot \lg(x-1) — 2 \lg^2 (x-1) = 0.
\)

Разделим обе части уравнения на \(\lg^2 (x-1)\) (при условии, что \(\lg (x-1) \neq 0\)):

\(
\frac{\lg^2 (x+1)}{\lg^2 (x-1)} — \frac{\lg(x+1)}{\lg(x-1)} — 2 = 0.
\)

Обозначим

\(
t = \log_{x-1} (x+1) = \frac{\lg (x+1)}{\lg (x-1)}.
\)

Тогда уравнение примет вид:

\(
t^2 — t — 2 = 0.
\)

Решим квадратное уравнение относительно \(t\):

\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,
\)

\(
t = \frac{1 \pm 3}{2}.
\)

Получаем два значения:

1)

\(
t_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)

2)

\(
t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Первое значение \(t_1 = -1\):

\(
\log_{x-1} (x+1) = -1,
\)

что эквивалентно

\(
x + 1 = (x — 1)^{-1}.
\)

Домножим обе части на \(x — 1\):

\(
(x + 1)(x — 1) = 1.
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 1 = 1,
\)

\(
x^2 = 2,
\)

откуда

\(
x = \pm \sqrt{2}.
\)

Второе значение \(t_2 = 2\):

\(
\log_{x-1} (x+1) = 2,
\)

что означает

\(
x + 1 = (x — 1)^2.
\)

Раскроем квадрат:

\(
x + 1 = x^2 — 2x + 1.
\)

Перенесём все в левую часть:

\(
0 = x^2 — 2x + 1 — x — 1,
\)

\(
0 = x^2 — 3x.
\)

Вынесем общий множитель:

\(
x(x — 3) = 0.
\)

Отсюда

\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 3.
\)

Область определения:

Так как в логарифмах подлогарифмические выражения должны быть положительны, получаем условия:

\(
x + 1 > 0 — x > -1,
\)

\(
x — 1 > 0 — x > 1.
\)

Из этих условий следует, что \(x\) должен быть строго больше 1.

Проверка корней по области определения:

— \(x = \pm \sqrt{2}\). Из них \(\sqrt{2} \approx 1.414 > 1\) подходит, а \(-\sqrt{2}\) не подходит.
— \(x = 0\) не подходит, так как \(0 \not> 1\).
— \(x = 3\) подходит.

Итоговый ответ:

\(
x = \sqrt{2}, \quad x = 3.
\)