Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
\(
2 \lg^2(2x — 1) = \lg^2(2x + 1) — \lg(2x — 1) \cdot \lg(2x + 1)
\)
\(
2 \lg^2 (2x — 1) = \lg^2 (2x + 1) — \lg(2x — 1) \cdot \lg(2x + 1);
\)
\(
\lg^2 (2x + 1) — \lg(2x — 1) \cdot \lg(2x + 1) — 2 \lg^2 (2x — 1) = 0;
\)
\(
\frac{\lg^2 (2x + 1)}{\lg^2 (2x — 1)} — \frac{\lg(2x + 1)}{\lg(2x — 1)} — 2 = 0;
\)
\(
\log_{2x-1}^2 (2x + 1) — \log_{2x-1} (2x + 1) — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;
\)
1) Первое значение:
\(
\log_{2x-1} (2x + 1) = \frac{1 — 3}{2} = -1;
\)
\(
2x + 1 = (2x — 1)^{-1};
\)
\(
(2x + 1)(2x — 1) = 1;
\)
\(
4x^2 — 1 = 1;
\)
\(
4x^2 = 2;
\)
\(
x^2 = \frac{1}{2};
\)
\(
x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2};
\)
2) Второе значение:
\(
\log_{2x-1}(2x + 1) = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
\(
2x + 1 = (2x — 1)^2;
\)
\(
2x + 1 = 4x^2 — 4x + 1;
\)
\(
4x^2 — 6x = 0;
\)
\(
2x (2x — 3) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1.5;
\)
3) Область определения:
\(
2x — 1 > 0, \quad 2x + 1 > 0;
\)
\(
x > 0.5, \quad x > -0.5;
\)
Ответ:
\(
\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 1.5.
\)
\(
2 \lg^2 (2x — 1) = \lg^2 (2x + 1) — \lg(2x — 1) \cdot \lg(2x + 1).
\)
Шаг 1. Преобразование уравнения
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
\(
\lg^2 (2x + 1) — \lg(2x — 1) \cdot \lg(2x + 1) — 2 \lg^2 (2x — 1) = 0.
\)
Разделим всё уравнение на \(\lg^2 (2x — 1)\), при условии, что \(\lg (2x — 1) \neq 0\):
\(
\frac{\lg^2 (2x + 1)}{\lg^2 (2x — 1)} — \frac{\lg(2x + 1)}{\lg(2x — 1)} — 2 = 0.
\)
Обозначим
\(
t = \log_{2x — 1}(2x + 1) = \frac{\lg(2x + 1)}{\lg(2x — 1)}.
\)
Тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — t — 2 = 0.
\)
Шаг 2. Решение квадратного уравнения по \(t\)
Дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)
Корни:
\(
t_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad t_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)
Шаг 3. Рассмотрение каждого корня
Корень \(t_1 = -1\):
\(
\log_{2x — 1} (2x + 1) = -1.
\)
По определению логарифма:
\(
2x + 1 = (2x — 1)^{-1} = \frac{1}{2x — 1}.
\)
Домножим обе части на \(2x — 1\):
\(
(2x + 1)(2x — 1) = 1.
\)
Раскроем скобки:
\(
4x^2 — 1 = 1.
\)
Перенесём 1 в левую часть:
\(
4x^2 — 1 — 1 = 0 — 4x^2 — 2 = 0.
\)
Отсюда:
\(
4x^2 = 2, \quad x^2 = \frac{1}{2}.
\)
Следовательно:
\(
x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)
Корень \(t_2 = 2\):
\(
\log_{2x — 1} (2x + 1) = 2.
\)
По определению логарифма:
\(
2x + 1 = (2x — 1)^2.
\)
Раскроем квадрат:
\(
2x + 1 = 4x^2 — 4x + 1.
\)
Перенесём все в левую часть:
\(
0 = 4x^2 — 4x + 1 — 2x — 1 = 4x^2 — 6x.
\)
Вынесем общий множитель:
\(
2x(2x — 3) = 0.
\)
Решения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{3}{2} = 1.5.
\)
Шаг 4. Область определения
Логарифмы определены при положительных аргументах:
\(
2x — 1 > 0 — x > \frac{1}{2},
\)
\(
2x + 1 > 0 — x > -\frac{1}{2}.
\)
Область определения — это пересечение условий:
\(
x > \frac{1}{2}.
\)
Шаг 5. Проверка решений на область определения
— \(x = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > 0.5\) — подходит.
— \(x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 < 0.5\) — не подходит.
— \(x = 0 < 0.5\) — не подходит.
— \(x = 1.5 > 0.5\) — подходит.
Итоговый ответ:
\(
x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x = 1.5.
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.