ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \( x^2 \cdot \log_x 27 \cdot \log_9 x = x + 4 \)

2) \( \lg \sqrt{1+x} + 3\lg \sqrt{1-x} — 2 = \lg \sqrt{1-x^2} \)

1)
\(
x^2 \log_x 27 \cdot \log_9 x = x + 4;
\)

\(
x^2 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = x + 4;
\)

\(
x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4;
\)

\(
3x^2 = 2x + 8;
\)

\(
3x^2 — 2x — 8 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 4 + 96 = 100,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{2 — 10}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = 2;
\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x \neq 1;
\)

Ответ:
\(
2.
\)

2)
\(
\lg \sqrt{1 + x} + 3 \lg \sqrt{1 — x} — 2 = \lg \sqrt{1 — x^2};
\)

\(
\lg \sqrt{1 + x} + \lg ( \sqrt{1 — x} )^3 — \lg \sqrt{1 — x^2} = 2;
\)

\(
\lg \frac{\sqrt{1 + x} \cdot (1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x^2}} = \lg 10^2;
\)

\(
\sqrt{(1 — x)^2} = 100;
\)

\(
1 — x = 100;
\)

\(
x = -99;
\)

Область определения:

\(
1 + x > 0, \quad 1 — x > 0;
\)

\(
x > -1, \quad x < 1;
\)

Ответ:
корней нет.

1) Уравнение

\(
x^2 \log_x 27 \cdot \log_9 x = x + 4.
\)

Шаг 1. Преобразование логарифмов к одному основанию

Используем формулу перехода между основаниями логарифма:

\(
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
\)

Выберем основание 3, тогда:

\(
\log_x 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 x}, \quad \log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9}.
\)

Подставим в уравнение:

\(
x^2 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 x} \cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = x + 4.
\)

Сократим \(\log_3 x\) в числителе и знаменателе:

\(
x^2 \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = x + 4.
\)

Шаг 2. Вычисление значений логарифмов

\(
\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3,
\)

\(
\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2.
\)

Подставим:

\(
x^2 \cdot \frac{3}{2} = x + 4.
\)

Шаг 3. Приведение к квадратному уравнению

Умножим обе части на 2:

\(
3x^2 = 2x + 8.
\)

Перенесём всё в левую часть:

\(
3x^2 — 2x — 8 = 0.
\)

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Дискриминант:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 10}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3},
\)

\(
x_2 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2.
\)

Шаг 5. Область определения

Для логарифмов должны выполняться условия:

\(
x > 0, \quad x \neq 1,
\)

потому что основание логарифма \(x\) должно быть положительным и не равным 1.

Шаг 6. Проверка корней на область определения

— \(x_1 = -\frac{4}{3} < 0\) — не подходит.
— \(x_2 = 2 > 0\) и \(2 \neq 1\) — подходит.

Итог:

\(
{2}.
\)

2) Уравнение

\(
\lg \sqrt{1 + x} + 3 \lg \sqrt{1 — x} — 2 = \lg \sqrt{1 — x^2}.
\)

Шаг 1. Использование свойств логарифмов

Перепишем с помощью степеней:

\(
3 \lg \sqrt{1 — x} = \lg (\sqrt{1 — x})^3 = \lg (1 — x)^{3/2}.
\)

Тогда уравнение становится:

\(
\lg \sqrt{1 + x} + \lg (1 — x)^{3/2} — 2 = \lg \sqrt{1 — x^2}.
\)

Шаг 2. Переносим все логарифмы в одну сторону

\(
\lg \sqrt{1 + x} + \lg (1 — x)^{3/2} — \lg \sqrt{1 — x^2} = 2.
\)

Используем свойство:

\(
\lg a + \lg b = \lg (a \cdot b), \quad \lg a — \lg b = \lg \frac{a}{b}.
\)

Получаем:

\(
\lg \frac{\sqrt{1 + x} \cdot (1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x^2}} = 2.
\)

Шаг 3. Запишем правую часть как логарифм степени 10

\(
2 = \lg 10^2 = \lg 100.
\)

Тогда:

\(
\lg \frac{\sqrt{1 + x} \cdot (1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x^2}} = \lg 100.
\)

Шаг 4. Приравниваем аргументы логарифмов

\(
\frac{\sqrt{1 + x} \cdot (1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x^2}} = 100.
\)

Шаг 5. Упрощение выражения

Заметим, что:

\(
1 — x^2 = (1 — x)(1 + x).
\)

Тогда знаменатель:

\(
\sqrt{1 — x^2} = \sqrt{(1 — x)(1 + x)} = \sqrt{1 — x} \cdot \sqrt{1 + x}.
\)

Подставим в числитель и знаменатель:

\(
\frac{\sqrt{1 + x} \cdot (1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x} \cdot \sqrt{1 + x}} = \frac{(1 — x)^{3/2}}{\sqrt{1 — x}} = (1 — x)^{3/2 — 1/2} = (1 — x)^1 = 1 — x.
\)

Таким образом уравнение сводится к:

\(
1 — x = 100.
\)

Шаг 6. Решение уравнения

\(
x = 1 — 100 = -99.
\)

Шаг 7. Область определения

Подкоренные выражения должны быть положительными:

\(
1 + x > 0 — x > -1,
\)

\(
1 — x > 0 — x < 1.
\)

Область определения:

\(
-1 < x < 1.
\)

Шаг 8. Проверка решения на область определения

\(
x = -99 \notin (-1, 1),
\)

следовательно, решений в области определения нет.

Итог:

Корней нет.