ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
\log_{9} (4x — 6) = \log_{9} (x — 2)
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{4}} (x + 7) = \log_{\frac{1}{4}} (x^2 + 5)
\)

Решить уравнение:

1) \(\log_9(4x − 6) = \log_9(x − 2)\);
\(4x − 6 = x − 2\);
\(4x − x = −2 + 6\);
\(3x = 4\);
\(x = \frac{4}{3}\);

Область определения:
\(x − 2 > 0, x > 2\);
Ответ: корней нет.

2) \(\log_{1/4}(x + 7) = \log_{1/4}(x^2 + 5)\);
\(x + 7 = x^2 + 5\);
\(x^2 − x − 2 = 0\);

D = \(1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9\), тогда:
\(x_1 = \frac{1 − \sqrt{9}}{2}\) и \(x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2\);

Область определения:
\(x + 7 > 0, x > −7\);
Ответ: \(-1; 2.\)

1. Уравнение:

\(
\log_9(4x — 6) = \log_9(x — 2)
\)

Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:

\(
4x — 6 = x — 2
\)

Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую:

\(
4x — x = -2 + 6
\)

Получаем:

\(
3x = 4
\)

Разделим обе стороны на 3:

\(
x = \frac{4}{3}
\)

Теперь проверим область определения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \(4x — 6 > 0\), откуда:
\(
4x > 6 \quad \Rightarrow \quad x > \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
\)

2. \(x — 2 > 0\), откуда:
\(
x > 2
\)

Общая область определения: \(x > 2\).

Найденное значение \(x = \frac{4}{3}\) не принадлежит области определения, так как \(\frac{4}{3} < 2\).

Ответ: корней нет.

2. Уравнение:

\(
\log_{1/4}(x + 7) = \log_{1/4}(x^2 + 5)
\)

Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:

\(
x + 7 = x^2 + 5
\)

Приведем уравнение к стандартному виду:

\(
x^2 — x — 2 = 0
\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\(
D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Найдем корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1
\)

\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2
\)

Теперь проверим область определения. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. \(x + 7 > 0\), откуда:
\(
x > -7
\)

2. \(x^2 + 5 > 0\). Это условие выполняется для всех \(x\), так как \(x^2 + 5 > 0\) всегда.

Общая область определения: \(x > -7\).

Проверим найденные корни:

— \(x_1 = -1\) удовлетворяет области определения (\(-1 > -7\)).
— \(x_2 = 2\) также удовлетворяет области определения (\(2 > -7\)).

Ответ: \(x_1 = -1; x_2 = 2.\)