ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1)
\(
x \cdot \log_{x+1} \left( 5 \cdot \log_{1/5}^{\frac{1}{3}} (x+1) \right) = \frac{x-4}{x}
\)

2)
\(
\log_{1+x+\sin(x)} (x^2+x-1) = \log_{1+x+\sin(x)} (3x+2)
\)

1)
\(
x \log_{x+1} 5 \cdot \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}} (x + 1) = \frac{x — 4}{x};
\)

\(
x^2 \cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 (x + 1)} \cdot \frac{\log_5 (x + 1)}{\log_5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}} = x — 4;
\)

\(
x^2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = x — 4;
\)

\(
3x^2 + x — 4 = 0;
\)

\(
D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 + 48 = 49,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 3} = -\frac{4}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = 1;
\)

Область определения:

\(
x + 1 > 0, \quad x + 1 \neq 1;
\)

\(
x > -1, \quad x \neq 0;
\)

Ответ: 1.

2)
\(
\log_{1+x+\sin x} (x^2 + x — 1) = \log_{1+x+\sin x} (3x + 2);
\)

\(
x^2 + x — 1 = 3x + 2;
\)

\(
x^2 — 2x — 3 = 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

Область определения:

\(
3x + 2 > 0, \quad x > -\frac{2}{3};
\)

\(
1 + x + \sin x > 0;
\)

\(
1 + x + \sin x \neq 1;
\)

Ответ: 3.

Решение уравнения 1)

Исходное уравнение:
\(
x \log_{x+1} 5 \cdot \log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}} (x + 1) = \frac{x — 4}{x}
\)

Шаг 1: Применение формулы перехода к другому основанию логарифма.
Используем формулу \(\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}\). Выберем основание \(c = 5\).
\(
\log_{x+1} 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 (x + 1)} = \frac{1}{\log_5 (x + 1)}
\)
\(
\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}} (x + 1) = \frac{\log_5 (x + 1)}{\log_5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}}}
\)
Вычислим знаменатель второго выражения:
\(
\log_5 \sqrt[3]{\frac{1}{5}} = \log_5 \left(5^{-1}\right)^{1/3} = \log_5 5^{-1/3} = -\frac{1}{3}
\)
Подставим это обратно:
\(
\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{5}}} (x + 1) = \frac{\log_5 (x + 1)}{-\frac{1}{3}} = -3 \log_5 (x + 1)
\)

Шаг 2: Подстановка преобразованных логарифмов в исходное уравнение.
\(
x \cdot \frac{1}{\log_5 (x + 1)} \cdot \left(-3 \log_5 (x + 1)\right) = \frac{x — 4}{x}
\)
Заметим, что \(\log_5 (x + 1)\) сокращается, если \(\log_5 (x + 1) \neq 0\), что означает \(x+1 \neq 1\), то есть \(x \neq 0\). Это условие будет учтено в области определения.
\(
x \cdot (-3) = \frac{x — 4}{x}
\)
\(
-3x = \frac{x — 4}{x}
\)

Шаг 3: Избавление от знаменателя и приведение к квадратному уравнению.
Умножим обе части уравнения на \(x\) (при условии \(x \neq 0\)):
\(
-3x^2 = x — 4
\)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(
3x^2 + x — 4 = 0
\)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.
Используем формулу для дискриминанта \(D = b^2 — 4ac\) и корни \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Здесь \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -4\).
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49
\)
Теперь найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 — 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1
\)

Шаг 5: Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмических выражений \(\log_b a\), должны выполняться условия: \(a > 0\), \(b > 0\), \(b \neq 1\).
В нашем уравнении:
1. Основание логарифма \(x+1\):
* \(x+1 > 0 — x > -1\)
* \(x+1 \neq 1 — x \neq 0\)
2. Аргументы логарифмов:
* \(5 > 0\) (всегда верно)
* \(x+1 > 0\) (уже учтено)
3. Знаменатель в правой части уравнения:
* \(x \neq 0\) (уже учтено)

Таким образом, ОДЗ: \(x > -1\) и \(x \neq 0\).

Шаг 6: Проверка найденных корней на соответствие ОДЗ.
1. Для \(x_1 = -\frac{4}{3}\):
* Проверим \(x > -1\): \(-\frac{4}{3} \approx -1.33\). Поскольку \(-1.33 не равно -1\), \(x_1 = -\frac{4}{3}\) не удовлетворяет ОДЗ.
2. Для \(x_2 = 1\):
* Проверим \(x > -1\): \(1 > -1\) (верно).
* Проверим \(x \neq 0\): \(1 \neq 0\) (верно).
Таким образом, \(x_2 = 1\) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: Единственным решением уравнения является \(x = 1\).

Решение уравнения 2)

Исходное уравнение:
\(
\log_{1+x+\sin x} (x^2 + x — 1) = \log_{1+x+\sin x} (3x + 2)
\)

Шаг 1: Использование свойства равенства логарифмов.
Если \(\log_b A = \log_b B\), то \(A = B\), при условии, что основание и аргументы логарифмов удовлетворяют ОДЗ.
Приравниваем аргументы логарифмов:
\(
x^2 + x — 1 = 3x + 2
\)

Шаг 2: Приведение к квадратному уравнению.
Перенесем все члены в одну сторону:
\(
x^2 + x — 3x — 1 — 2 = 0
\)
\(
x^2 — 2x — 3 = 0
\)

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.
Используем формулу для дискриминанта \(D = b^2 — 4ac\) и корни \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\).
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)
Теперь найдем корни:
\(
x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\)
\(
x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
\)

Шаг 4: Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмических выражений \(\log_b a\), должны выполняться условия: \(a > 0\), \(b > 0\), \(b \neq 1\).
В нашем уравнении:
1. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
* \(x^2 + x — 1 > 0\)
* \(3x + 2 > 0 — x > -\frac{2}{3}\)
2. Основание логарифма \(1+x+\sin x\):
* \(1+x+\sin x > 0\)
* \(1+x+\sin x \neq 1 — x+\sin x \neq 0\)

Шаг 5: Проверка найденных корней на соответствие ОДЗ.
1. Для \(x_1 = -1\):
* Проверим условие \(3x + 2 > 0\): \(3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1\). Поскольку \(-1 не равно 0\), это условие не выполняется. Следовательно, \(x_1 = -1\) не является решением.
(Дальнейшие проверки для \(x_1\) не требуются, так как одно условие ОДЗ уже нарушено).

2. Для \(x_2 = 3\):
* Проверим условие \(3x + 2 > 0\): \(3(3) + 2 = 9 + 2 = 11\). \(11 > 0\) (верно).
* Проверим условие \(x^2 + x — 1 > 0\): \(3^2 + 3 — 1 = 9 + 3 — 1 = 11\). \(11 > 0\) (верно).
* Проверим условие \(1+x+\sin x > 0\): \(1 + 3 + \sin 3 = 4 + \sin 3\). Поскольку \(-1 \le \sin 3 \le 1\), то \(4 + \sin 3\) всегда будет больше или равно \(4 — 1 = 3\), что больше \(0\). (верно).
* Проверим условие \(x+\sin x \neq 0\): \(3 + \sin 3\). Поскольку \(-1 \le \sin 3 \le 1\), то \(3 + \sin 3\) всегда будет больше или равно \(3 — 1 = 2\), что не равно \(0\). (верно).
Все условия ОДЗ для \(x_2 = 3\) выполняются.

Ответ: Единственным решением уравнения является \(x = 3\).