ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\sqrt{\tan x + 1} \cdot \log_{1/2}(3 — x) = 0
\)

\(
\sqrt{\tan x+1} \cdot \log_{1/2}(3-x)= 0
\)

1) Первое уравнение:
\(
\sqrt{\tan x+1}= 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x+1= 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x = -1 \quad \Rightarrow \quad x =
\)
\(
= -\frac{\pi}{4} + \pi n
\)

2) Второе уравнение:
\(
\log_{1/2}(3-x)= 0 \quad \Rightarrow \quad 3 — x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\)

3) Область определения:
\(
\tan x +1 > 0, \quad 3-x > 0 \quad \Rightarrow \quad \tan x > -1, \quad x < 3
\)

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in (\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}) \cup \{1\}\).

Рассмотрим уравнение:
\(
\sqrt{\tan x+1} \cdot \log_{1/2}(3-x)= 0
\)

Для решения уравнения необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Разберём каждый случай.

Первое уравнение:
\(
\sqrt{\tan x+1} = 0
\)
Так как квадратный корень равен нулю, то выражение под корнем также равно нулю:
\(
\tan x + 1 = 0
\)
Отсюда:
\(
\tan x = -1
\)
Решение этого уравнения имеет вид:
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\)

Второе уравнение:
\(
\log_{1/2}(3-x) = 0
\)
Логарифм равен нулю, если аргумент логарифма равен единице:
\(
3 — x = 1
\)
Отсюда:
\(
x = 2
\)

Теперь рассмотрим область определения исходного уравнения.
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\(
\tan x + 1 > 0
\)
Отсюда:
\(
\tan x > -1
\)

Во-вторых, аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
3 — x > 0
\)
Отсюда:
\(
x < 3
\)

Таким образом, область определения уравнения определяется системой неравенств:
\(
\tan x > -1, \quad x < 3
\)

Объединяя найденные решения с учётом области определения, получаем ответ:
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in (\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}) \cup \{1\}
\)