ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значения параметра а?

\(
(\log_2 (x+1) — 3)v(x-a) = 0
\)

1) Первое уравнение:

\(
\log_2(x + 1) — 3 = 0;
\)

\(
\log_2(x + 1) = 3;
\)

\(
x + 1 = 8;
\)

\(
x = 7;
\)

2) Второе уравнение:

\(
\sqrt{x — a} = 0;
\)

\(
x — a = 0;
\)

\(
x = a;
\)

3) Область определения:

\(
x — a \geq 0, \quad x + 1 > 0;
\)

то есть

\(
x \geq a, \quad x > -1.
\)

Ответ:

— Если \(a \leq -1\) или \(a \geq 7\), то уравнение имеет одно решение;

— Если \(-1 < a < 7\), то уравнение имеет два решения.

1) Рассмотрим уравнение

\(
\log_2(x + 1) — 3 = 0.
\)

Переносим 3 вправо:

\(
\log_2(x + 1) = 3.
\)

По определению логарифма:

\(
x + 1 = 2^3 = 8.
\)

Отсюда

\(
x = 7.
\)

2) Рассмотрим второе уравнение:

\(
\sqrt{x — a} = 0.
\)

Чтобы корень равнялся нулю, подкоренное выражение должно быть нулём:

\(
x — a = 0.
\)

Отсюда

\(
x = a.
\)

3) Найдём область определения исходного уравнения:

Условие подкоренного выражения:

\(
x — a \geq 0 — x \geq a.
\)

Условие для логарифма:

\(
x + 1 > 0 — x > -1.
\)

Объединяем эти условия:

\(
x \geq a \quad \text{и} \quad x > -1.
\)

То есть область определения — все \(x\), которые одновременно удовлетворяют обеим неравенствам.

4) Рассмотрим уравнение

\(
(\log_2(x + 1) — 3) \sqrt{x — a} = 0.
\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первый множитель равен нулю при

\(
\log_2(x + 1) — 3 = 0 — x = 7,
\)

второй — при

\(
\sqrt{x — a} = 0 — x = a.
\)

5) Проверяем, когда решения принадлежат области определения.

— Точка \(x = 7\) принадлежит области определения, если

\(
7 \geq a \quad \text{и} \quad 7 > -1,
\)

то есть

\(
a \leq 7.
\)

— Точка \(x = a\) принадлежит области определения, если

\(
a \geq a \quad \text{и} \quad a > -1,
\)

то есть

\(
a > -1.
\)

6) Итог по количеству решений:

— Если \(a \leq -1\), то \(x = a\) не принадлежит области определения, остаётся только решение \(x = 7\). Значит, одно решение.

— Если \(-1 < a < 7\), то оба решения \(x = a\) и \(x = 7\) принадлежат области определения, значит два решения.

— Если \(a \geq 7\), то \(x = 7\) принадлежит области определения, а \(x = a \geq 7\) тоже принадлежит, но так как \(x = a \geq 7\), то \(x = a\) совпадает или больше 7. При \(a = 7\) решения совпадают (одно решение), при \(a > 7\) точка \(x = a\) больше 7, но нужно проверить, входит ли она в область определения.

Поскольку область определения требует \(x \geq a\) и \(x > -1\), при \(a > 7\) точка \(x = a\) входит в область определения, но \(x = 7\) при этом \(7 < a\), значит \(x=7\) не удовлетворяет \(x \geq a\). Значит, в этом случае одно решение — \(x = a\).

Итог:

— При \(a \leq -1\) — одно решение (\(x=7\)).

— При \(-1 < a < 7\) — два решения (\(x=a\) и \(x=7\)).

— При \(a = 7\) — одно решение (двойное, \(x=7\)).

— При \(a > 7\) — одно решение (\(x = a\)).