ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сколько решений имеет уравнение } \left( \log_3 (x-2) — 2 \right) v(x-a) = 0
\)
\(
\text{ в зависимости от значения параметра } a?
\)

1) Первое уравнение:
\(
\log_3(x — 2) — 2 = 0;
\log_3(x — 2) = 2;
x — 2 = 9;
x = 11;
\)

2) Второе уравнение:
\(
\sqrt{x — a} = 0;
x — a = 0;
x = a;
\)

3) Область определения:
\(
x — a > 0, \quad x — 2 > 0;
x \geq a, \quad x > 2;
\)

Ответ: если \(a \leq 2\) или \(a \geq 11\), то одно решение;
если \(2 < a < 11\), то два решения.

Рассмотрим уравнение
\(
(\log_3(x — 2) — 2) \sqrt{x — a} = 0.
\)

1) Первое уравнение:
Чтобы произведение было равно нулю, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Рассмотрим первый множитель:
\(
\log_3(x — 2) — 2 = 0.
\)
Переносим 2 вправо:
\(
\log_3(x — 2) = 2.
\)
По определению логарифма:
\(
x — 2 = 3^2 = 9.
\)
Отсюда
\(
x = 11.
\)

2) Второе уравнение:
Второй множитель равен нулю, если
\(
\sqrt{x — a} = 0.
\)
Это возможно, когда подкоренное выражение равно нулю:
\(
x — a = 0,
\)
то есть
\(
x = a.
\)

3) Область определения уравнения:
Чтобы логарифм был определён, необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго положительным:
\(
x — 2 > 0 — x > 2.
\)
Чтобы корень был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
\(
x — a \geq 0 — x \geq a.
\)

Объединяя условия, получаем область определения:
\(
x > 2 \quad \text{и} \quad x \geq a.
\)

4) Анализ решений в зависимости от параметра \(a\):

— Решение из первого уравнения: \(x = 11\). Это решение будет принадлежать области определения, если
\(
11 > 2 \quad \text{и} \quad 11 \geq a,
\)
то есть
\(
a \leq 11.
\)

— Решение из второго уравнения: \(x = a\). Это решение принадлежит области определения, если
\(
a > 2 \quad \text{и} \quad a \geq a,
\)
то есть
\(
a > 2.
\)

5) Итог по количеству решений:

— Если \(a \leq 2\), то \(x = a\) не принадлежит области определения, потому что \(x > 2\) обязательно. Тогда единственное решение — \(x = 11\).

— Если \(2 < a < 11\), то оба решения \(x = a\) и \(x = 11\) принадлежат области определения, значит два решения.

— Если \(a \geq 11\), то решение \(x = 11\) принадлежит области определения, если \(a \leq 11\), но при \(a > 11\) \(x = 11\) не удовлетворяет \(x \geq a\), поэтому единственное решение — \(x = a\).

Ответ:
\(
\text{Если } a \leq 2 \text{ или } a \geq 11, \text{ то уравнение имеет одно решение;}
\)
\(
\text{если } 2 < a < 11, \text{ то два решения.}
\)