ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение

\(
(x — a) \log_2 (3x — 7) = 0
\)

имеет единственный корень?

1) Первое уравнение:
\(
x — a = 0;
x = a;
\)

2) Второе уравнение:
\(
\log_2(3x — 7) = 0;
3x — 7 = 1;
3x = 8;
x = \frac{8}{3};
\)

3) Область определения:
\(
3x — 7 > 0;
3x > 7;
\)

Ответ:
\(
a = \frac{8}{3} \quad \text{или} \quad a \leq \frac{7}{3}.
\)

Рассмотрим уравнение
\(
(x — a) \log_2(3x — 7) = 0.
\)

1) Первое уравнение
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель:
\(
x — a = 0.
\)
Отсюда
\(
x = a.
\)

2) Второе уравнение
Рассмотрим второй множитель:
\(
\log_2(3x — 7) = 0.
\)
По определению логарифма:
\(
3x — 7 = 2^0 = 1.
\)
Отсюда
\(
3x = 8,
\)
и
\(
x = \frac{8}{3}.
\)

3) Область определения
Логарифм определён, если аргумент положителен:
\(
3x — 7 > 0,
\)
то есть
\(
3x > 7,
\)
откуда
\(
x > \frac{7}{3}.
\)

4) Анализ решений и области определения
Чтобы корни уравнения были решениями исходного уравнения, они должны принадлежать области определения. Проверим:

— Для первого корня \(x = a\) условие области определения:
\(
a > \frac{7}{3}.
\)

— Для второго корня \(x = \frac{8}{3}\) условие области определения:
\(
\frac{8}{3} > \frac{7}{3},
\)
что верно.

5) Условие, при котором уравнение имеет ровно один корень
Корни уравнения: \(x = a\) и \(x = \frac{8}{3}\).

Чтобы было ровно одно решение, либо корни совпадают, либо один из корней не принадлежит области определения.

— Первый случай: корни совпадают:
\(
a = \frac{8}{3}.
\)

— Второй случай: корень \(x = a\) не принадлежит области определения, то есть
\(
a \leq \frac{7}{3}.
\)

Итог:
Уравнение имеет ровно один корень при
\(
a = \frac{8}{3} \quad \text{или} \quad a \leq \frac{7}{3}.
\)