ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение

\(
(x + a) \log_3 (2x — 5) = 0
\)

имеет единственный корень?

1) Первое уравнение:
\(
x + a = 0;
x = -a;
\)

2) Второе уравнение:
\(
\log_3(2x — 5) = 0;
2x — 5 = 1;
2x = 6;
x = 3;
\)

3) Область определения:
\(
2x — 5 > 0;
x > 2.5;
\)

Ответ:
\(
a = -3 \quad \text{или} \quad a \geq -2.5.
\)

Рассмотрим уравнение
\(
(x + a) \log_3(2x — 5) = 0.
\)

1) Первое уравнение
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим первый множитель:
\(
x + a = 0.
\)
Отсюда
\(
x = -a.
\)

2) Второе уравнение
Рассмотрим второй множитель:
\(
\log_3(2x — 5) = 0.
\)
По определению логарифма:
\(
2x — 5 = 3^0 = 1.
\)
Отсюда
\(
2x = 6,
\)
и
\(
x = 3.
\)

3) Область определения
Логарифм определён, если аргумент положителен:
\(
2x — 5 > 0,
\)
то есть
\(
x > 2.5.
\)

4) Анализ решений и области определения
Чтобы корни уравнения были решениями исходного уравнения, они должны принадлежать области определения. Проверим:

— Для первого корня \(x = -a\) условие области определения:
\(
-a > 2.5,
\)
откуда
\(
a < -2.5.
\)

— Для второго корня \(x = 3\) условие области определения:
\(
3 > 2.5,
\)
что верно.

5) Условие, при котором уравнение имеет ровно один корень
Корни уравнения: \(x = -a\) и \(x = 3\).

Чтобы уравнение имело ровно один корень, возможны два варианта:

— Первый корень равен второму:
\(
-a = 3,
\)
откуда
\(
a = -3.
\)

— Первый корень не принадлежит области определения, то есть
\(
a \geq -2.5,
\)
тогда единственным решением будет \(x = 3\).

Итог:
Уравнение имеет ровно один корень при
\(
a = -3 \quad \text{или} \quad a \geq -2.5.
\)