ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_x \cos(2\pi x) = 0\)

2) \(\log_{\sqrt{2\sin(x)}} (1 + \cos(x)) = 2\)

1)
\(
\log_x \cos(2 \pi x) = 0;
\)
\(
\cos(2 \pi x) = 1;
\)
\(
2 \pi x = 2 \pi n;
\)
\(
x = n;
\)
Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1;
\)
Ответ:
\(
n, \quad \text{где } n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}.
\)

2)
\(
\log_{\sqrt{2} \sin x} (1 + \cos x) = 2;
\)
\(
1 + \cos x = \left(\sqrt{2} \sin x\right)^2;
\)
\(
1 + \cos x = 2 \sin^2 x;
\)
\(
1 + \cos x = 2 — 2 \cos^2 x;
\)
\(
2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
\cos x_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_1 = \pi + 2 \pi n;
\)
\(
\cos x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;
\)

Область определения:
\(
1 + \cos x > 0, \quad \cos x \neq -1;
\)
\(
\sqrt{2} \sin x > 0, \quad \sin x > 0;
\)
\(
\sqrt{2} \sin x \neq 1, \quad \sin x \neq \frac{\sqrt{2}}{2};
\)

Ответ:
\(
\frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.
\)

1) Уравнение
\(
\log_x \cos(2 \pi x) = 0.
\)

По свойству логарифма, если \(\log_a b = 0\), то \(b = 1\), при условии, что база \(a > 0\) и \(a \neq 1\), а аргумент \(b > 0\).

Значит, из уравнения имеем:
\(
\cos(2 \pi x) = 1.
\)

Косинус равен 1 в точках
\(
2 \pi x = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Отсюда
\(
x = n.
\)

Область определения логарифма:
— База логарифма должна быть положительной и не равной 1:
\(
x > 0, \quad x \neq 1.
\)

— Аргумент логарифма должен быть положительным:
\(
\cos(2 \pi x) > 0.
\)

При \(x = n\), где \(n\) — целое число,
\(
\cos(2 \pi n) = 1 > 0,
\)
условие аргумента выполнено.

Итог:
Решения — целые положительные числа, кроме 1:
\(
x = n, \quad n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}.
\)

2) Уравнение
\(
\log_{\sqrt{2} \sin x} (1 + \cos x) = 2.
\)

По определению логарифма:
\(
1 + \cos x = \left(\sqrt{2} \sin x\right)^2.
\)

Раскроем квадрат:
\(
1 + \cos x = 2 \sin^2 x.
\)

Используем основное тригонометрическое тождество:
\(
\sin^2 x = 1 — \cos^2 x,
\)
тогда
\(
1 + \cos x = 2 (1 — \cos^2 x) = 2 — 2 \cos^2 x.
\)

Перенесём всё в одну сторону:
\(
1 + \cos x = 2 — 2 \cos^2 x,
\)
\(
2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0.
\)

Решим квадратное уравнение относительно \(\cos x\):
\(
2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни:
\(
\cos x = \frac{-1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
\)

Первый корень:
\(
\cos x_1 = \frac{-1 — 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1.
\)

Второй корень:
\(
\cos x_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

Найдём соответствующие значения \(x\):

— При \(\cos x = -1\):
\(
x_1 = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

— При \(\cos x = \frac{1}{2}\):
\(
x_2 = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Область определения логарифма:

— База логарифма \(\sqrt{2} \sin x\) должна быть положительной и не равной 1:
\(
\sqrt{2} \sin x > 0 — \sin x > 0,
\)
\(
\sqrt{2} \sin x \neq 1 — \sin x \neq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
\)

— Аргумент логарифма \(1 + \cos x\) должен быть положительным:
\(
1 + \cos x > 0,
\)
и не равен 1 (так как база не может быть равна аргументу):
\(
\cos x \neq -1.
\)

Проверка корней по области определения:

— Для \(\cos x = -1\) имеем
\(
1 + \cos x = 0,
\)
что не удовлетворяет условию \(1 + \cos x > 0\), поэтому корень \(x = \pi + 2 \pi n\) не подходит.

— Для \(\cos x = \frac{1}{2}\)
\(
1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0,
\)
условие выполнено.

— Кроме того, \(\sin x > 0\) требует, чтобы \(x\) лежало в интервалах, где синус положителен, например, в интервале \((0, \pi)\) и повторяющихся с периодом \(2 \pi\).

Итог:
Решения уравнения:
\(
x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z},
\)
где одновременно выполняется условие \(\sin x > 0\) (что верно для этих значений).