ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_x \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0\)

2) \(\log_{\sin(3x)} \left(\cos(x) — \cos(2x)\right) = 1\)

1)
\(
\log_x \sin \frac{\pi x}{2} = 0;
\)
\(
\sin \frac{\pi x}{2} = 1;
\)
\(
\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;
\)
\(
\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 4 \pi n;
\)
\(
x = 1 + 4 n;
\)

Область определения:
\(
x > 0, \quad x \neq 1;
\)

Ответ:
\(
1 + 4 n, \quad \text{где } n \in \mathbb{N}.
\)

2)
\(
\log_{\sin 3x} (\cos x — \cos 2x) = 1;
\)
\(
\cos x — \cos 2x = \sin 3x;
\)
\(
-2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \cos \frac{3x}{2};
\)
\(
2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \left(\sin \frac{x}{2} — \cos \frac{3x}{2}\right) = 0;
\)

\(
\sin \frac{3x}{2} \cdot \left(\cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos \frac{3x}{2}\right) = 0;
\)

\(
-2 \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2} — 2x\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 0;
\)

\(
\sin \frac{3x}{2} \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 0;
\)

\(
\frac{3x_1}{2} = \pi n, \quad x_1 = \frac{2 \pi n}{3};
\)

\(
2 x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};
\)

\(
x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi n;
\)

Область определения:
\(
\cos x \cdot \cos 2x > 0, \quad \sin \frac{3x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} > 0;
\)

\(
\sin 3x > 0, \quad \sin 3x \neq 1;
\)

Ответ:
\(
x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}.
\)

Задача 1

Дано уравнение:

\(
\log_x \left(\sin \frac{\pi x}{2}\right) = 0.
\)

По определению логарифма, если \(\log_a b = 0\), то \(b = 1\) (при \(a > 0, a \neq 1\), \(b > 0\)).

Следовательно,

\(
\sin \frac{\pi x}{2} = 1.
\)

Известно, что \(\sin \theta = 1\) при

\(
\theta = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Подставляем \(\theta = \frac{\pi x}{2}\):

\(
\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n.
\)

Умножаем обе части на \(\frac{2}{\pi}\):

\(
x = 1 + 4 n.
\)

Проверим область определения логарифма:

— Основание логарифма \(x\) должно быть положительным и не равным 1:

\(
x > 0, \quad x \neq 1.
\)

— Подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

\(
\sin \frac{\pi x}{2} > 0.
\)

Так как \(\sin \frac{\pi x}{2} = 1\), условие выполнено.

Ответ по области определения и решению:

\(
x = 1 + 4 n, \quad n \in \mathbb{Z}, \quad x > 0, \quad x \neq 1.
\)

При \(n = 0\) получаем \(x = 1\), что запрещено, значит \(n \neq 0\) и \(x > 0\).

Задача 2

Дано уравнение:

\(
\log_{\sin 3x} (\cos x — \cos 2x) = 1.
\)

По определению логарифма:

\(
\cos x — \cos 2x = (\sin 3x)^1 = \sin 3x.
\)

Используем формулу разности косинусов:

\(
\cos x — \cos 2x = -2 \sin \frac{x + 2x}{2} \sin \frac{x — 2x}{2} = -2 \sin \frac{3x}{2} \sin \left(-\frac{x}{2}\right).
\)

Так как \(\sin(-\alpha) = -\sin \alpha\), то

\(
-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = -2 \sin \frac{3x}{2} (-\sin \frac{x}{2}) = 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}.
\)

Следовательно уравнение переписывается как

\(
2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = \sin 3x.
\)

Используем формулу для \(\sin 3x\):

\(
\sin 3x = 3 \sin x — 4 \sin^3 x,
\)

но здесь удобнее использовать тригонометрические преобразования. Вместо этого рассмотрим преобразование левой части.

Воспользуемся формулой косинуса разности для выражения:

\(
\sin \frac{3x}{2} \left(\cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos \frac{3x}{2}\right) = 0.
\)

Далее преобразуем разность косинусов в произведение:

\(
\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}.
\)

Подставим \(A = \frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\), \(B = \frac{3x}{2}\):

\(
\cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos \frac{3x}{2} = -2 \sin \left(\frac{\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} + \frac{3x}{2}}{2}\right) \sin \left(\frac{\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} — \frac{3x}{2}}{2}\right).
\)

Вычислим аргументы синусов:

\(
\frac{\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} + \frac{3x}{2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} + x}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2},
\)

\(
\frac{\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2} — \frac{3x}{2}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} — 2x}{2} = \frac{\pi}{4} — x.
\)

Таким образом,

\(
\cos \left(\frac{\pi}{2} — \frac{x}{2}\right) — \cos \frac{3x}{2} = -2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} — x\right).
\)

Подставим обратно:

\(
\sin \frac{3x}{2} \cdot \left(-2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} — x\right)\right) = 0,
\)

или

\(
-2 \sin \frac{3x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 0.
\)

Отсюда уравнение разбивается на три возможных случая:

1)

\(
\sin \frac{3x}{2} = 0,
\)

2)

\(
\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 0,
\)

3)

\(
\sin \left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 0.
\)

Решим каждое из них.

Первый случай:

\(
\sin \frac{3x}{2} = 0.
\)

Корни:

\(
\frac{3x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)

Отсюда

\(
x = \frac{2 \pi n}{3}.
\)

Второй случай:

\(
\sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 0.
\)

Корни:

\(
\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.
\)

Откуда

\(
\frac{x}{2} = \pi m — \frac{\pi}{4},
\)

\(
x = 2 \pi m — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m — \frac{3\pi}{4} \quad \text{(упрощение)},
\)

но проще оставить как

\(
x = 2 \pi m — \frac{\pi}{2}.
\)

Третий случай:

\(
\sin \left(\frac{\pi}{4} — x\right) = 0.
\)

Корни:

\(
\frac{\pi}{4} — x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.
\)

Откуда

\(
x = \frac{\pi}{4} — \pi k.
\)

Область определения

Логарифм \(\log_{\sin 3x} (\cos x — \cos 2x)\) определён при условиях:

1) Основание логарифма положительно и не равно 1:

\(
\sin 3x > 0, \quad \sin 3x \neq 1.
\)

2) Подлогарифмическое выражение положительно:

\(
\cos x — \cos 2x > 0.
\)

Используем разложение:

\(
\cos x — \cos 2x = -2 \sin \frac{3x}{2} \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = 2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2}.
\)

Значит

\(
2 \sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} > 0.
\)

Условие области определения сводится к:

\(
\sin 3x > 0, \quad \sin 3x \neq 1,
\)

и

\(
\sin \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} > 0.
\)

Итоговый ответ

Из всех найденных корней, с учётом области определения, подходит только

\(
x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.
\)