ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
(4x — x^2 — 3) \log_2 (\cos^2(\pi x) + 1) = 1
\)

1) Первая функция:
\(
y = 4x — x^2 — 3, \quad y \leq 1;
\)

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2;
\)

\(
y_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 — 3 = 8 — 4 — 3 = 1;
\)

2) Вторая функция:
\(
g = \log_2 (\cos^2 \pi x + 1);
\)

\(
-1 \leq \cos \pi x \leq 1;
\)

\(
0 \leq \cos^2 \pi x \leq 1;
\)

\(
1 \leq \cos^2 \pi x + 1 \leq 2;
\)

\(
\log_2 1 \leq g \leq \log_2 2;
\)

\(
0 \leq g \leq 1;
\)

3) Решение уравнения:
\(
y = 1, \quad g = 1, \quad x = 2;
\)

\(
\log_2 (\cos^2 2\pi + 1) = \log_2 2 = 1;
\)

Ответ: 2.

Дано уравнение:

\(
(4x — x^2 — 3) \log_2 (\cos^2 \pi x + 1) = 1.
\)

1) Исследование первой функции

Первая функция — это выражение перед логарифмом:

\(
y = 4x — x^2 — 3.
\)

Это квадратичная функция с коэффициентами: \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -3\).

Нам дано условие \(y \leq 1\). Найдем вершину параболы, чтобы понять максимальное значение функции.

Координата вершины по оси \(x\) находится по формуле:

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2.
\)

Вычислим значение функции в вершине:

\(
y_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 — 3 = 8 — 4 — 3 = 1.
\)

Таким образом, максимум функции \(y\) равен 1 при \(x = 2\), и условие \(y \leq 1\) выполняется для всех \(x\), так как функция принимает максимум 1.

2) Исследование второй функции

Вторая функция — это логарифм:

\(
g = \log_2 (\cos^2 \pi x + 1).
\)

Рассмотрим область определения подлогарифмического выражения:

\(
\cos \pi x \in (-1, 1).
\)

Тогда

\(
\cos^2 \pi x \in (0, 1).
\)

Следовательно,

\(
\cos^2 \pi x + 1 \in (1, 2).
\)

Логарифм по основанию 2 от значения из отрезка \((1, 2)\) будет лежать в интервале:

\(
\log_2 1 \leq g \leq \log_2 2,
\)

то есть

\(
0 \leq g \leq 1.
\)

3) Решение уравнения

Исходное уравнение можно представить как

\(
y \cdot g = 1,
\)

где

\(
y = 4x — x^2 — 3, \quad g = \log_2 (\cos^2 \pi x + 1).
\)

Поскольку \(y \leq 1\) и \(0 \leq g \leq 1\), произведение \(y \cdot g = 1\) возможно только если

\(
y = 1 \quad \text{и} \quad g = 1.
\)

Из пункта 1 мы знаем, что \(y = 1\) при \(x = 2\).

Проверим \(g\) при \(x = 2\):

\(
g = \log_2 (\cos^2 (2 \pi) + 1).
\)

Так как \(\cos (2 \pi) = 1\), то

\(
\cos^2 (2 \pi) = 1,
\)

и

\(
g = \log_2 (1 + 1) = \log_2 2 = 1.
\)

Условие выполнено.

Итог

Решением уравнения является

\(
x = 2.
\)

Ответ: 2.