ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
2^{-|x-2|} \log_2 (4x — x^2 — 2) = 1
\)

1) Первая функция:
\(
y = 2^{-|x-2|};
\)

\(
|x — 2| \geq 0;
\)

\(
-|x-2| \leq 0;
\)

\(
2^{-|x-2|} \leq 2^0;
\)

\(
0 \leq y \leq 1;
\)

2) Вторая функция:
\(
g = \log_2 (4x — x^2 — 2), \quad g \leq 1;
\)

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2;
\)

\(
g_0 = 4 \cdot 2 — 2^2 — 2 = 8 — 4 — 2 = 2;
\)

\(
\log_2 (4x — x^2 — 2) \leq \log_2 2;
\)

3) Решение уравнения:
\(
y = 1, \quad g = 1, \quad x = 2;
\)

\(
2^{-|2-2|} = 2^0 = 1;
\)

Ответ: 2.

Дано уравнение:

\(
2^{-|x-2|} \log_2 (4x — x^2 — 2) = 1.
\)

1) Первая функция

Рассмотрим функцию

\(
y = 2^{-|x-2|}.
\)

Модуль \(|x-2|\) всегда неотрицателен, то есть

\(
|x — 2| \geq 0.
\)

Тогда

\(
-|x-2| \leq 0,
\)

и, поскольку основание степени 2 больше 1, функция убывает при уменьшении показателя степени. Значит,

\(
2^{-|x-2|} \leq 2^0 = 1.
\)

Поскольку степень может быть любым отрицательным числом или нулём, функция принимает значения в промежутке

\(
0 < y \leq 1.
\)

Значение \(y = 0\) не достигается, так как степень не может стремиться к минус бесконечности, но может быть сколь угодно близка к нулю.

2) Вторая функция

Рассмотрим функцию

\(
g = \log_2 (4x — x^2 — 2).
\)

Для определения области определения подлогарифмического выражения должно выполняться:

\(
4x — x^2 — 2 > 0.
\)

Перепишем в виде

\(
-x^2 + 4x — 2 > 0,
\)

или

\(
x^2 — 4x + 2 < 0.
\)

Решим неравенство:

Найдём корни квадратного уравнения

\(
x^2 — 4x + 2 = 0.
\)

Дискриминант

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8.
\)

Корни:

\(
x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит, неравенство

\(
x^2 — 4x + 2 < 0
\)

выполняется при

\(
2 — \sqrt{2} < x < 2 + \sqrt{2}.
\)

Найдём максимум функции подлогарифмического выражения:

\(
h(x) = 4x — x^2 — 2.
\)

Это квадратичная функция с коэффициентами \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -2\).

Координата вершины:

\(
x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2.
\)

Значение функции в вершине:

\(
h(2) = 4 \cdot 2 — 2^2 — 2 = 8 — 4 — 2 = 2.
\)

Тогда

\(
g_0 = \log_2 2 = 1.
\)

Таким образом, максимум функции \(g\) равен 1, и

\(
g \leq 1.
\)

3) Решение уравнения

Исходное уравнение можно записать как

\(
y \cdot g = 1,
\)

где

\(
y = 2^{-|x-2|}, \quad g = \log_2 (4x — x^2 — 2).
\)

Из пунктов 1 и 2 известно, что

\(
0 < y \leq 1, \quad g \leq 1.
\)

Произведение двух чисел из интервалов \((0,1]\) и \((-\infty,1]\) равно 1 только в случае, если оба равны 1:

\(
y = 1, \quad g = 1.
\)

Для \(y = 1\) необходимо

\(
2^{-|x-2|} = 1 — -|x-2| = 0 — |x-2| = 0 — x = 2.
\)

Для \(g = 1\) проверим при \(x=2\):

\(
g = \log_2 (4 \cdot 2 — 2^2 — 2) = \log_2 (8 — 4 — 2) = \log_2 2 = 1.
\)

Таким образом, \(x=2\) удовлетворяет уравнению.

Ответ:

\(
x = 2.
\)