ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить следующие уравнения:

1. \(
\log_2 \sqrt{x} — \log_2 \left(\frac{1}{x}\right) = 6;
\)

2. \(
\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11;
\)

3. \(
\log_6 x + 2 \log_3^6 x + 3 \log_2^{16} x = 3;
\)

4. \(
\log_7 \log_4 (x — 2) = 0;
\)

5. \(
\log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}.
\)

1) \( \log_2 \sqrt{x} — \log_2 \frac{1}{x} = 6; \)
\(
\frac{1}{2} \log_2 x — (-\log_2 x) = 6;
\)
\(
\frac{3}{2} \log_2 x = 6;
\)
\(
\log_2 x = 4;
\)
\(
x = 2^4 = 16;
\)
Ответ: 16.

2) \( \log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11; \)
\(
\log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 11;
\)
\(
\frac{11}{6} \log_2 x = 11;
\)
\(
\log_2 x = 6;
\)
\(
x = 2^6 = 64;
\)
Ответ: 64.

3) \( \log_6 x + 2 \log_{36} x + 3 \log_{216} x = 3; \)
\(
\log_6 x + 2 \cdot \frac{1}{2} \log_6 x + 3 \cdot \frac{1}{3} \log_6 x = 3;
\)
\(
3 \log_6 x = 3;
\)
\(
\log_6 x = 1;
\)
\(
x = 6^1 = 6;
\)
Ответ: 6.

4) \( \log_7 \log_4 (x — 2) = 0; \)
\(
\log_4 (x — 2) = 1;
\)
\(
x — 2 = 4;
\)
\(
x = 6;
\)
Ответ: 6.

5) \( \log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}; \)
\(
\log_3 \log_2 x = 2;
\)
\(
\log_2 x = 9;
\)
\(
x = 2^9 = 512;
\)
Ответ: 512.

1) Уравнение:
\(
\log_2 \sqrt{x} — \log_2 \frac{1}{x} = 6
\)
Применяем свойства логарифмов:
\(
\log_2 \sqrt{x} = \frac{1}{2} \log_2 x, \quad \log_2 \frac{1}{x} = -\log_2 x
\)
Подставляем:
\(
\frac{1}{2} \log_2 x — (-\log_2 x) = 6
\)
Упрощаем:
\(
\frac{3}{2} \log_2 x = 6
\)
Находим логарифм:
\(
\log_2 x = 4
\)
Находим \(x\):
\(
x = 2^4 = 16
\)
Ответ: \(x = 16\).

2) Уравнение:
\(
\log_2 x + \log_4 x + \log_8 x = 11
\)
Выражаем логарифмы через основание \(2\):
\(
\log_4 x = \frac{1}{2} \log_2 x, \quad \log_8 x = \frac{1}{3} \log_2 x
\)
Подставляем:
\(
\log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 11
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
\frac{6}{6} \log_2 x + \frac{3}{6} \log_2 x + \frac{2}{6} \log_2 x = 11
\)
Складываем:
\(
\frac{11}{6} \log_2 x = 11
\)
Находим логарифм:
\(
\log_2 x = 6
\)
Находим \(x\):
\(
x = 2^6 = 64
\)
Ответ: \(x = 64\).

3) Уравнение:
\(
\log_6 x + 2 \log_{36} x + 3 \log_{216} x = 3
\)
Выражаем логарифмы через основание \(6\):
\(
\log_{36} x = \frac{1}{2} \log_6 x, \quad \log_{216} x = \frac{1}{3} \log_6 x
\)
Подставляем:
\(
\log_6 x + 2 \cdot \frac{1}{2} \log_6 x + 3 \cdot \frac{1}{3} \log_6 x = 3
\)
Упрощаем:
\(
\log_6 x + \log_6 x + \log_6 x = 3
\)
Складываем:
\(
3 \log_6 x = 3
\)
Находим логарифм:
\(
\log_6 x = 1
\)
Находим \(x\):
\(
x = 6^1 = 6
\)
Ответ: \(x = 6\).

4) Уравнение:
\(
\log_7 \log_4 (x — 2) = 0
\)
Из свойства логарифма: если логарифм равен \(0\), то аргумент равен \(1\):
\(
\log_4 (x — 2) = 1
\)
Находим \(x — 2\):
\(
x — 2 = 4^1 = 4
\)
Находим \(x\):
\(
x = 4 + 2 = 6
\)
Ответ: \(x = 6\).

5) Уравнение:
\(
\log_4 \log_3 \log_2 x = \frac{1}{2}
\)
Из свойства логарифма: если логарифм равен \(\frac{1}{2}\), то аргумент равен корню из основания:
\(
\log_3 \log_2 x = 2
\)
Находим следующий логарифм: если логарифм равен \(2\), то аргумент равен квадрату основания:
\(
\log_2 x = 9
\)
Находим \(x\):
\(
x = 2^9 = 512
\)
Ответ: \(x = 512\).