ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите систему уравнений

\(
\begin{cases}
\sqrt{x} — \sqrt{y} = \log_3 \left(\frac{y}{x}\right) \\
2^{x+2} + 8^x = 5 \cdot 4^y
\end{cases}
\)

1) Первое уравнение:
\(
\sqrt{x} — \sqrt{y} = \log_3 y — \log_3 x; \quad \sqrt{x} + \log_3 x = \sqrt{y} + \log_3 y;
\)

2) Функция возрастает:
\(
f(t) = \sqrt{t} + \log_3 t; \quad f(x) = f(y); \quad x = y;
\)

3) Второе уравнение:
\(
2^{x+2} + 8^x = 5 \cdot 4^x;
\)

\(
4 \cdot 2^x + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x};
\)

\(
4 + 2^{2x} = 5 \cdot 2^x;
\)

\(
2^{2x} — 5 \cdot 2^x + 4 = 0;
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,
\)

тогда:
\(
2^x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad \text{и} \quad 2^x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)

\(
x_1 = y_1 = 0, \quad x_2 = y_2 = 2;
\)

4) Область определения:
\(
x > 0, \quad y > 0;
\)

Ответ:
\(
(2; 2).
\)

Дана система уравнений:

\(
\begin{cases}
\sqrt{x} — \sqrt{y} = \log_3 \frac{y}{x}, \\
2^{x+2} + 8^x = 5 \cdot 4^y.
\end{cases}
\)

Шаг 1. Преобразование первого уравнения

Первое уравнение можно переписать так:

\(
\sqrt{x} — \sqrt{y} = \log_3 y — \log_3 x,
\)

так как

\(
\log_3 \frac{y}{x} = \log_3 y — \log_3 x.
\)

Перенесём слагаемые, чтобы сгруппировать:

\(
\sqrt{x} + \log_3 x = \sqrt{y} + \log_3 y.
\)

Шаг 2. Анализ функции

Рассмотрим функцию

\(
f(t) = \sqrt{t} + \log_3 t,
\)

определённую при \(t > 0\) (так как подкоренное выражение и логарифм должны быть положительны).

Проверим, что функция возрастает на области определения.

— Производная функции:

\(
f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}} + \frac{1}{t \ln 3}.
\)

Поскольку \(t > 0\), обе части положительны, значит \(f'(t) > 0\) для всех \(t > 0\).

Следовательно, функция строго возрастает.

Из уравнения

\(
f(x) = f(y),
\)

и строгого возрастания функции следует

\(
x = y.
\)

Шаг 3. Подстановка во второе уравнение

Подставим \(y = x\) во второе уравнение системы:

\(
2^{x+2} + 8^x = 5 \cdot 4^x.
\)

Перепишем степени с разными основаниями через основание 2:

\(
8^x = (2^3)^x = 2^{3x}, \quad 4^x = (2^2)^x = 2^{2x}.
\)

Тогда уравнение примет вид:

\(
2^{x+2} + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x}.
\)

Вынесем множители:

\(
2^{x} \cdot 2^{2} + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x}.
\)

То есть

\(
4 \cdot 2^{x} + 2^{3x} = 5 \cdot 2^{2x}.
\)

Шаг 4. Замена переменной

Обозначим

\(
t = 2^x > 0.
\)

Тогда уравнение становится:

\(
4t + t^3 = 5 t^2.
\)

Перенесём все в левую часть:

\(
t^3 — 5 t^2 + 4 t = 0.
\)

Вынесем \(t\) за скобки:

\(
t (t^2 — 5 t + 4) = 0.
\)

Так как \(t = 2^x > 0\), корень \(t=0\) не подходит.

Решим квадратное уравнение:

\(
t^2 — 5 t + 4 = 0.
\)

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Найдём дискриминант:

\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\)

Корни:

\(
t_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\)

Шаг 6. Возвращение к переменной \(x\)

Из замены \(t = 2^x\):

— Для \(t_1 = 1\):

\(
2^x = 1 — x = 0.
\)

— Для \(t_2 = 4\):

\(
2^x = 4 = 2^2 — x = 2.
\)

Шаг 7. Проверка области определения

Согласно условию,

\(
x > 0, \quad y > 0,
\)

так как подкоренные выражения и логарифмы должны быть определены.

Из двух корней \(x=0\) и \(x=2\) подходит только \(x=2\).

Так как \(x = y\), то

\(
y = 2.
\)

Итоговый ответ:

\(
(x, y) = (2, 2).
\)