ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение

\(
\log_2 \left( \frac{x}{\sqrt{4x-3}} \right) = \sqrt{4x-3} — x.
\)

Решить уравнение:
\(
\log_2 \frac{x}{\sqrt{4x — 3}} = \sqrt{4x — 3} — x;
\)

Перепишем уравнение:
\(
\log_2 x — \log_2 \sqrt{4x — 3} = \sqrt{4x — 3} — x;
\)

\(
\log_2 x + x = \log_2 \sqrt{4x — 3} + \sqrt{4x — 3};
\)

1) Функция возрастает:
\(
f(t) = \log_2 t + t;
\)

\(
f(x) = f(\sqrt{4x — 3});
\)

Тогда
\(
x = \sqrt{4x — 3};
\)

Возведём в квадрат обе части:
\(
x^2 = 4x — 3;
\)

\(
x^2 — 4x + 3 = 0;
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,
\)

тогда корни:
\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)

2) Область определения:
\(
x > 0, \quad 4x — 3 > 0;
\)

то есть
\(
x > 0, \quad x > \frac{3}{4};
\)

Ответ:
\(
1; \quad 3.
\)

Рассмотрим уравнение:

\(
\log_2 \frac{x}{\sqrt{4x — 3}} = \sqrt{4x — 3} — x.
\)

Шаг 1. Преобразование логарифма

Используем свойство логарифма:

\(
\log_2 \frac{x}{\sqrt{4x — 3}} = \log_2 x — \log_2 \sqrt{4x — 3}.
\)

Подставим это в уравнение:

\(
\log_2 x — \log_2 \sqrt{4x — 3} = \sqrt{4x — 3} — x.
\)

Шаг 2. Перенос членов

Перенесём \(- \log_2 \sqrt{4x — 3}\) вправо, а \(- x\) влево:

\(
\log_2 x + x = \log_2 \sqrt{4x — 3} + \sqrt{4x — 3}.
\)

Шаг 3. Введение функции

Рассмотрим функцию

\(
f(t) = \log_2 t + t,
\)

определённую при \(t > 0\).

Проверим, что функция строго возрастает.

Производная функции:

\(
f'(t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1.
\)

Поскольку \(t > 0\) и \(\ln 2 > 0\), то

\(
f'(t) > 0,
\)

значит функция \(f(t)\) строго возрастает.

Шаг 4. Использование монотонности

Из уравнения

\(
f(x) = f(\sqrt{4x — 3}),
\)

и монотонности функции следует

\(
x = \sqrt{4x — 3}.
\)

Шаг 5. Решение уравнения

Возведём обе части в квадрат:

\(
x^2 = 4x — 3.
\)

Перенесём все в одну сторону:

\(
x^2 — 4x + 3 = 0.
\)

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Найдём дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{4 — \sqrt{4}}{2} = \frac{4 — 2}{2} = 1,
\)

\(
x_2 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\)

Шаг 7. Область определения

Для исходного уравнения должны выполняться условия:

\(
x > 0,
\)

и подкоренное выражение должно быть положительно:

\(
4x — 3 > 0 — x > \frac{3}{4}.
\)

Шаг 8. Проверка корней

Корни \(x=1\) и \(x=3\) удовлетворяют области определения, так как оба больше \(\frac{3}{4}\).

Ответ:

\(
x = 1, \quad x = 3.
\)