ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.52 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Учащийся решает уравнение \( \left( \frac{1}{16} \right)^x = \log_{\frac{1}{16}} x \) следующим образом:
1) Поскольку при \( x = \frac{1}{2} \) выполняются равенства \( \left( \frac{1}{16} \right)^x = \left( \frac{1}{16} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} \) и \( \log_{\frac{1}{16}} x = \log_{\frac{1}{16}} \left( \frac{1}{2} \right) = \log_{2}^{-4} 2^{-1} = \frac{1}{4} \), то число \( x = \frac{1}{2} \) является корнем данного уравнения;
2) Построив графики функций \( y = \left( \frac{1}{16} \right)^x \) и \( y = \log_{\frac{1}{16}} x \), учащийся утверждает, что уравнение не имеет других корней, кроме \( x = \frac{1}{2} \).
Прав ли учащийся, сделав такой вывод?

Существуют другие решения:
\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{2};
\)

\(
\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \log_2^{-4} 2^{-2} = \frac{1}{2};
\)

Ответ: нет.

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^x = \log_{\frac{1}{16}} x
\)

при \(x = \frac{1}{2}\) не является единственным.

1. Проверка решения \(x = \frac{1}{2}\)

Подставим \(x = \frac{1}{2}\):

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2}.
\)

Вычислим левую часть:

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}.
\)

Вычислим правую часть:

\(
\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2}.
\)

Перепишем основание и аргумент в степени двойки:

\(
\frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4},
\)

\(
\frac{1}{2} = 2^{-1}.
\)

Тогда

\(
\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2} = \log_{2^{-4}} 2^{-1}.
\)

Используем формулу перехода по основанию логарифма:

\(
\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b,
\)

но проще сразу заметить, что

\(
\log_{2^{-4}} 2^{-1} = \frac{\log_2 2^{-1}}{\log_2 2^{-4}} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}.
\)

Таким образом,

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}, \quad \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{2} = \frac{1}{4},
\)

то есть равенство верно.

2. Существуют ли другие решения?

Рассмотрим \(x = \frac{1}{4}\).

Проверим левую часть:

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}}.
\)

Поскольку

\(
16 = 2^4,
\)

то

\(
\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2.
\)

Следовательно,

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}.
\)

Теперь вычислим правую часть при \(x = \frac{1}{4}\):

\(
\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4}.
\)

Перепишем в степени двойки:

\(
\frac{1}{4} = 2^{-2}.
\)

Тогда

\(
\log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \log_{2^{-4}} 2^{-2} = \frac{\log_2 2^{-2}}{\log_2 2^{-4}} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.
\)

Таким образом,

\(
\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}, \quad \log_{\frac{1}{16}} \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
\)

3. Вывод

Мы видим, что при \(x = \frac{1}{4}\) уравнение тоже выполняется, и это решение отличается от \(x = \frac{1}{2}\).

Следовательно, решение не является единственным.

Итог:

Ответ: нет, решение не единственное.