ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решить следующие уравнения:

1. \(
\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) + \log_3 \left(x^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{4}{3};
\)

2. \(
\log_5 x — \log_{25} x + \log_{625} x = \frac{3}{4};
\)

3. \(
\lg \lg \lg x = 0.
\)

1)
\(
\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) + \log_3 \left(x^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{4}{3}
\)
\(
\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_3(x)
\)
\(
\log_3 \left(x^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} \log_3(x)
\)
\(
— \log_3(x) + \frac{1}{3} \log_3(x) = \frac{4}{3}
\)
\(
-\frac{2}{3} \log_3(x) = \frac{4}{3}
\)
\(
\log_3(x) = -2
\)
\(
x = 3^{-2} = \frac{1}{9}
\)
Ответ: \(x = \frac{1}{9}\)

2)
\(
\log_5(x) — \log_{25}(x) + \log_{625}(x) = \frac{3}{4}
\)
\(
\log_5(x) — \frac{1}{2} \log_5(x) + \frac{1}{4} \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
\(
\left(1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
\(
\frac{3}{4} \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
\(
\log_5(x) = 1
\)
\(
x = 5^1 = 5
\)
Ответ: \(x = 5\)

3)
\(
\lg(\lg(\lg(x))) = 0
\)
\(
\lg(\lg(x)) = 10^0 = 1
\)
\(
\lg(x) = 10^1 = 10
\)
\(
x = 10^{10}
\)
Ответ: \(x = 10^{10}\)

1. Решим уравнение:
\(
\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) + \log_3 \left(x^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{4}{3}
\)
Из свойства логарифмов:
\(
\log_3 \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_3(x)
\)
\(
\log_3 \left(x^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} \log_3(x)
\)
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\(
— \log_3(x) + \frac{1}{3} \log_3(x) = \frac{4}{3}
\)
Приведём подобные:
\(
-\frac{2}{3} \log_3(x) = \frac{4}{3}
\)
Умножим обе стороны на \(-\frac{3}{2}\):
\(
\log_3(x) = -2
\)
Восстановим \(x\):
\(
x = 3^{-2} = \frac{1}{9}
\)
Ответ:
\(
x = \frac{1}{9}
\)

2. Решим уравнение:
\(
\log_5(x) — \log_{25}(x) + \log_{625}(x) = \frac{3}{4}
\)
Используем связь оснований логарифмов:
\(
\log_{25}(x) = \frac{1}{2} \log_5(x), \quad \log_{625}(x) = \frac{1}{4} \log_5(x)
\)
Подставим в исходное уравнение:
\(
\log_5(x) — \frac{1}{2} \log_5(x) + \frac{1}{4} \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
Приведём подобные:
\(
\left(1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
Посчитаем коэффициент перед логарифмом:
\(
1 — \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} — \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\)
Получаем:
\(
\frac{3}{4} \log_5(x) = \frac{3}{4}
\)
Сократим:
\(
\log_5(x) = 1
\)
Восстановим \(x\):
\(
x = 5^1 = 5
\)
Ответ:
\(
x = 5
\)

3. Решим уравнение:
\(
\lg(\lg(\lg(x))) = 0
\)
Из определения десятичного логарифма:
\(
\lg(\lg(x)) = 10^0 = 1
\)
Далее:
\(
\lg(x) = 10^1 = 10
\)
И, наконец:
\(
x = 10^{10}
\)
Ответ:
\(
x = 10^{10}
\)