ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_2 (3^{5x-3}+1) = 2; \\
2) & \quad \log_3 (3^{x-1}+6) = x; \\
3) & \quad \log_2 (2^x+7) = 3-x; \\
4) & \quad \log_6 (6^{-x}-5) = x+1.
\end{align*}
\)

1) \(\log_2(3^{5x-3} + 1) = 2;\)
\(
3^{5x-3} + 1 = 4;
\)
\(
3^{5x-3} = 3;
\)
\(
5x — 3 = 1;
\)
\(
5x = 4;
\)
\(
x = 0,8;
\)
Ответ: \(0,8.\)

2) \(\log_3(3^{x-1} + 6) = x;\)
\(
3^{x-1} + 6 = 3^x;
\)
\(
\frac{1}{3} \cdot 3^x = 6;
\)
\(
\frac{2}{3} \cdot 3^x = 6;
\)
\(
3^x = 9;
\)
\(
x = 2;
\)
Ответ: \(2.\)

3) \(\log_2(2^x + 7) = 3 — x;\)
\(
2^x + 7 = 2^{3-x};
\)
\(
2^x — 8 \cdot 2^x + 7 = 0;
\)
\(
2^{2x} + 7 \cdot 2^x — 8 = 0;
\)
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81,
\)
тогда:
\(
2^x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad 2^x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1;
\)
\(
x_1 \not\in \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = 0;
\)
Ответ: \(x = 0.\)

4) \(\log_6(6^x — 5) = x + 1;\)
\(
6^x — 5 = 6^{x+1};
\)
\(
6 \cdot 6^x — 6^x + 5 = 0;
\)
\(
6 \cdot 6^{2x} + 5 \cdot 6^x — 1 = 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49,
\)
тогда:
\(
6^x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1 \quad \text{и} \quad 6^x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{6};
\)
\(
x_1 \not\in \mathbb{R} \quad \text{и} \quad x_2 = -1;
\)
Ответ: \(x = -1.\)

1) Уравнение:
\(
\log_2(3^{5x-3} + 1) = 2
\)
Преобразуем:
\(
3^{5x-3} + 1 = 2^2
\)
\(
3^{5x-3} + 1 = 4
\)
Вычтем единицу:
\(
3^{5x-3} = 3
\)
Применим свойства степеней:
\(
5x — 3 = 1
\)
Решим линейное уравнение:
\(
5x = 4
\)
\(
x = 0,8
\)
Ответ:
\(
x = 0,8
\)

2) Уравнение:
\(
\log_3(3^{x-1} + 6) = x
\)
Преобразуем:
\(
3^{x-1} + 6 = 3^x
\)
Введем замену:
\(
3^x — \frac{1}{3} \cdot 3^x = 6
\)
Сгруппируем:
\(
\frac{2}{3} \cdot 3^x = 6
\)
Упростим:
\(
3^x = 9
\)
Решим уравнение:
\(
x = 2
\)
Ответ:
\(
x = 2
\)

3) Уравнение:
\(
\log_2(2^x + 7) = 3 — x
\)
Преобразуем:
\(
2^x + 7 = 2^{3-x}
\)
Введем замену и раскроем скобки:
\(
2^{2x} + 7 \cdot 2^x — 8 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81
\)
Найдем корни:
\(
2^x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8, \quad 2^x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1
\)
Проверим корни:
\(
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = 0
\)
Ответ:
\(
x = 0
\)

4) Уравнение:
\(
\log_6(6^x — 5) = x + 1
\)
Преобразуем:
\(
6^x — 5 = 6^{x+1}
\)
Введем замену и раскроем скобки:
\(
6 \cdot 6^{2x} + 5 \cdot 6^x — 1 = 0
\)
Найдем дискриминант:
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49
\)
Найдем корни:
\(
6^x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 6} = -1, \quad 6^x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{1}{6}
\)
Проверим корни:
\(
x_1 \notin \mathbb{R}, \quad x_2 = -1
\)
Ответ:
\(
x = -1
\)