ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\log_6 (6^{x+1} — 30) = x\)

2) \(\log_5 (6 — 5^x) = 1 — x\)

1) \(\log_6(6^{x+1} — 30) = x\)

\(
6^{x+1} — 30 = 6^x
\)

\(
6 \cdot 6^x — 6^x = 30
\)

\(
5 \cdot 6^x = 30
\)

\(
6^x = 6
\)

\(
x = 1
\)

Ответ: \(x = 1\).

2) \(\log_5(6 — 5^x) = 1 — x\)

\(
6 — 5^x = 5^{1-x}
\)

\(
5^x + 5^{1-x} — 6 = 0
\)

\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 = 0
\)

Дискриминант:

\(
D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16
\)

Тогда:

\(
x_1 = \log_5(2) = 0
\)

\(
x_2 = \log_5(5) = 1
\)

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = 1\).

1) Уравнение:
\(\log_6(6^{x+1} — 30) = x\)

Шаг 1. Преобразуем выражение внутри логарифма:
Так как \(\log_6(a) = x \Rightarrow a = 6^x\), то:
\(
6^{x+1} — 30 = 6^x
\)

Шаг 2. Раскрываем \(6^{x+1}\):
Используем свойство степеней: \(6^{x+1} = 6 \cdot 6^x\). Тогда:
\(
6 \cdot 6^x — 30 = 6^x
\)

Шаг 3. Упрощаем выражение:
Переносим \(6^x\) из правой части в левую:
\(
6 \cdot 6^x — 6^x = 30
\)

Сокращаем \(6^x\):
\(
5 \cdot 6^x = 30
\)

Шаг 4. Находим \(6^x\):
Делим обе части уравнения на \(5\):
\(
6^x = 6
\)

Шаг 5. Находим \(x\):
Так как \(6^x = 6 = 6^1\), то:
\(
x = 1
\)

Ответ:
\(
x = 1
\)

2) Уравнение:
\(\log_5(6 — 5^x) = 1 — x\)

Шаг 1. Преобразуем выражение внутри логарифма:
Так как \(\log_5(a) = b \Rightarrow a = 5^b\), то:
\(
6 — 5^x = 5^{1-x}
\)

Шаг 2. Упрощаем выражение:
Переносим все члены в одну часть уравнения:
\(
5^x + 5^{1-x} — 6 = 0
\)

Шаг 3. Избавляемся от дроби:
Умножаем обе части уравнения на \(5^x\), чтобы избавиться от \(5^{1-x}\):
\(
5^x \cdot 5^x + 5^x \cdot 5^{1-x} — 6 \cdot 5^x = 0
\)

Используем свойства степеней (\(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\)):
\(
5^{2x} + 5 — 6 \cdot 5^x = 0
\)

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение:
Получили квадратное уравнение вида:
\(
5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 = 0
\)

Обозначим \(t = 5^x\), тогда уравнение примет вид:
\(
t^2 — 6t + 5 = 0
\)

Шаг 5. Находим дискриминант:
Дискриминант квадратного уравнения равен:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16
\)

Шаг 6. Находим корни уравнения для \(t\):
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле:
\(
t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\)

Подставляем значения \(a = 1, b = -6, c = 5, D = 16\):
\(
t_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5
\)

\(
t_2 = \frac{6 — \sqrt{16}}{2} = \frac{6 — 4}{2} = \frac{2}{2} = 1
\)

Шаг 7. Возвращаемся к \(t = 5^x\):
Для первого корня \(t_1 = 5 \Rightarrow 5^x = 5 \Rightarrow x = 1\).

Для второго корня \(t_2 = 1 \Rightarrow 5^x = 1 \Rightarrow x = 0\).

Ответ:
Корни уравнения:
\(x_1 = 0, x_2 = 1\)