ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 6.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1. \(
\lg(x^2 — 2x) = \lg(2x + 12)
\)

2. \(
\log_4(x — 1) = \log_4(x^2 — x — 16)
\)

3. \(
\log_{0.5}(x^2 + 3x — 10) = \log_{0.5}(x — 2)
\)

4. \(
\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2 — x)
\)

5. \(
2 \log_{0.4} x = \log_{0.4}(2x^2 — x)
\)

6. \(
2 \log_7(-x) = \log_7(x + 2)
\)

7. \(
2 \log_8(1 — x) = \log_8(2.5x + 1)
\)

8. \(
2 \log_3 x = 1 + \log_3(x + 6)
\)

1) \(\lg(x^2 — 2x) = \lg(2x + 12);\)
\(
x^2 — 2x = 2x + 12;
\)
\(
x^2 — 4x — 12 = 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 8}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6;
\)
Область определения:
\(
2x + 12 > 0, \quad x > -6;
\)
Ответ: \(-2; 6.\)

2) \(\log_4(x — 1) = \log_4(x^2 — x — 16);\)
\(
x — 1 = x^2 — x — 16;
\)
\(
x^2 — 2x — 15 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5;
\)
Область определения:
\(
x — 1 > 0, \quad x > 1;
\)
Ответ: \(5.\)

3) \(\log_{0.5}(x^2 + 3x — 10) = \log_{0.5}(x — 2);\)
\(
x^2 + 3x — 10 = x — 2;
\)
\(
x^2 + 2x — 8 = 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2;
\)
Область определения:
\(
x — 2 > 0, \quad x > 2;
\)
Ответ: корней нет.

4) \(\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2 — x);\)
\(
x^2 — x — 2 = 2 — x;
\)
\(
x^2 = 4;
\)
\(
x = \pm 2;
\)
Область определения:
\(
2 — x > 0, \, x < 2;
\)
Ответ: \(-2.\)

5) \(2 \log_{0.4} x = \log_{0.4}(2x^2 — x);\)
\(
2 \log_{0.4} x = \log_{0.4}(2x^2 — x);
\)
\(
x^2 = 2x^2 — x;
\)
\(
x^2 — x = 0;
\)
\(
x(x — 1) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 1;
\)
Область определения:
\(
2x^2 — x > 0, \, x > 0;
\)
\(
2x — 1 > 0, \, x > \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(1.\)

6) \(2 \log_7(-x) = \log_7(x + 2);\)
\(
\log_7 x^2 = \log_7(x + 2);
\)
\(
x^2 = x + 2;
\)
\(
x^2 — x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;
\)
Область определения:
\(-x > 0, \, x + 2 > 0;\)
\(x < 0, \, x > -2;\)
Ответ: \(-1.\)

7) \(2 \log_8(1 — x) = \log_8(2,5x + 1);\)
\(
\log_8(1 — x)^2 = \log_8(2,5x + 1);
\)
\(
x^2 — 2x + 1 = 2,5x + 1;
\)
\(
x^2 — 5,5x = 0;
\)
\(
x(x — 5,5) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \, x_2 = 5,5;
\)
Область определения:
\(
1 — x > 0, \, 2,5x + 1 > 0;
\)
\(x < 1, \, x > -0,4;\)
Ответ: \(0.\)

8) \(2 \log_3 x = 1 + \log_3(x + 6);\)
\(
\log_3 x^2 = \log_3 3(x + 6);
\)
\(
x^2 = 3x + 18;
\)
\(
x^2 — 3x — 18 = 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-3 — 9}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 9}{2} = 6;
\)
Область определения:
\(
x > 0, \, x + 6 > 0;
\)
\(x > 0, \, x > -6;\)
Ответ: \(6.\)

1) \(\lg(x^2 — 2x) = \lg(2x + 12)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 — 2x = 2x + 12.
\)

Приведём его к стандартному виду:
\(
x^2 — 4x — 12 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 8}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2} = 6.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\lg(x^2 — 2x)\):
\(
x^2 — 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 2) > 0.
\)
Решаем неравенство:
\(
x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty).
\)

2. Для \(\lg(2x + 12)\):
\(
2x + 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -6.
\)

Пересечение областей определения:
\(
x \in (-6; 0) \cup (2; +\infty).
\)

Оба корня (\(-2\) и \(6\)) принадлежат этой области.

Ответ: \(-2; 6.\)

2) \(\log_4(x — 1) = \log_4(x^2 — x — 16)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
x — 1 = x^2 — x — 16.
\)

Приведём его к стандартному виду:
\(
x^2 — 2x — 15 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 — 8}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_4(x — 1)\):
\(
x — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 1.
\)

2. Для \(\log_4(x^2 — x — 16)\):
\(
x^2 — x — 16 > 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty).
\)

Пересечение областей определения:
\(
x > 1 \quad \cap \quad x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty) \quad \Rightarrow \quad x \in (5; +\infty).
\)

Подходит только корень \(x_2 = 5\).

Ответ: \(5.\)

3) \(\log_{0.5}(x^2 + 3x — 10) = \log_{0.5}(x — 2)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 + 3x — 10 = x — 2.
\)

Приведём его к стандартному виду:
\(
x^2 + 2x — 8 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 — 6}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 6}{2} = 2.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_{0.5}(x — 2)\):
\(
x — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2.
\)

2. Для \(\log_{0.5}(x^2 + 3x — 10)\):
\(
x^2 + 3x — 10 > 0.
\)
Решаем неравенство методом интервалов:
\(
x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty).
\)

Пересечение областей определения:
\(
x > 2 \quad \cap \quad x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty) \quad \Rightarrow \quad x \in (2; +\infty).
\)

Однако корень \(x_2 = 2\) не удовлетворяет строгому неравенству \(x > 2\), а \(x_1 = -4\) не входит в область определения.

Ответ: корней нет.

4) \(\log_6(x^2 — x — 2) = \log_6(2 — x)\)

Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 — x — 2 = 2 — x.
\)

Приведём его к стандартному виду:
\(
x^2 = 4.
\)

Корни уравнения:
\(
x = \pm 2.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_6(x^2 — x — 2)\):
\(
x^2 — x — 2 > 0.
\)
Решаем неравенство методом интервалов:
\(
x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty).
\)

2. Для \(\log_6(2 — x)\):
\(
2 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 2.
\)

Пересечение областей определения:
\(
x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \quad \cap \quad x < 2 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -1).
\)

Подходит только корень \(x = -2\).

Ответ: \(-2.\)

5) \(2 \log_{0.4} x = \log_{0.4}(2x^2 — x)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
2 \log_{0.4} x = \log_{0.4}(2x^2 — x).
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_{0.4} x^2 = \log_{0.4}(2x^2 — x).
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
x^2 = 2x^2 — x.
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
x^2 — x = 0.
\)

Разложим на множители:
\(
x(x — 1) = 0.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_{0.4} x\):
\(
x > 0.
\)

2. Для \(\log_{0.4}(2x^2 — x)\):
\(
2x^2 — x > 0.
\)
Разложим выражение на множители:
\(
x(2x — 1) > 0.
\)
Решаем неравенство методом интервалов:
\(
x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty).
\)

Итак, пересечение областей определения:
\(
x > 0 \quad \cap \quad x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty) \quad \Rightarrow \quad x \in (\frac{1}{2}; +\infty).
\)

Подходит только корень \(x_2 = 1\).

Ответ: \(1.\)

6) \(2 \log_7(-x) = \log_7(x + 2)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
2 \log_7(-x) = \log_7(x + 2).
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_7((-x)^2) = \log_7(x + 2).
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
x^2 = x + 2.
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
x^2 — x — 2 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 — 3}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_7(-x)\):
\(
-x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 0.
\)

2. Для \(\log_7(x + 2)\):
\(
x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -2.
\)

Пересечение областей определения:
\(
x < 0 \quad \cap \quad x > -2 \quad \Rightarrow \quad x \in (-2; 0).
\)

Подходит только корень \(x_1 = -1\).

Ответ: \(-1.\)

7) \(2 \log_8(1 — x) = \log_8(2.5x + 1)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
2 \log_8(1 — x) = \log_8(2.5x + 1).
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_8((1 — x)^2) = \log_8(2.5x + 1).
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
(1 — x)^2 = 2.5x + 1.
\)

Раскроем квадрат:
\(
1 — 2x + x^2 = 2.5x + 1.
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
x^2 — 5.5x = 0.
\)

Разложим на множители:
\(
x(x — 5.5) = 0.
\)

Корни уравнения:
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 5.5.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_8(1 — x)\):
\(
1 — x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 1.
\)

2. Для \(\log_8(2.5x + 1)\):
\(
2.5x + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -0.4.
\)

Пересечение областей определения:
\(
x < 1 \quad \cap \quad x > -0.4 \quad \Rightarrow \quad x \in (-0.4; 1).
\)

Подходит только корень \(x_1 = 0\).

Ответ: \(0.\)

8) \(2 \log_3 x = 1 + \log_3(x + 6)\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
2 \log_3 x = 1 + \log_3(x + 6).
\)

Используем свойство логарифмов:
\(
\log_3(x^2) = \log_3(3(x + 6)).
\)

Приравняем аргументы логарифмов:
\(
x^2 = 3(x + 6).
\)

Раскроем скобки:
\(
x^2 = 3x + 18.
\)

Приведём уравнение к стандартному виду:
\(
x^2 — 3x — 18 = 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 — 9}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2} = 6.
\)

Теперь проверим область определения логарифмов:
1. Для \(\log_3 x\):
\(
x > 0.
\)

2. Для \(\log_3(x + 6)\):
\(
x + 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -6.
\)

Пересечение областей определения:
\(
x > 0 \quad \cap \quad x > -6 \quad \Rightarrow \quad x > 0.
\)

Подходит только корень \(x_2 = 6\).

Ответ: \(6.\)