ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) \( \log_{\frac{1}{6}} (x+2) < 0 \)

2) \( \log_{\frac{1}{2}} (6-x) > -2 \)

3) \( \log_{0.3} (4x-3) > \log_{0.3} (x+3) \)

4) \( \log_{\frac{1}{3}} (x^2 — 2x + 1) > -1 \)

1)
\(
\log_{\frac{1}{6}} (x + 2) \leq 0;
\)
\(
x + 2 \geq 1;
\)
\(
x \geq -1;
\)
Ответ: \(-1\).

2)
\(
\log_{\frac{1}{2}} (6 — x) > -2;
\)
\(
0 < 6 — x < 4;
\)
\(
-6 < -x < -2;
\)
\(
2 < x < 6;
\)
Ответ: 3.

3)
\(
\log_{0.3} (4x — 3) \geq \log_{0.3} (x + 3);
\)
\(
4x — 3 \leq x + 3,
\)
\(
4x — 3 > 0;
\)
\(
3x \leq 6,
\)
\(
4x > 3;
\)
\(
x \leq 2, \quad x > \frac{3}{4};
\)
Ответ: 1.

4)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x^2 — 2x + 1) \geq -1;
\)
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 3,
\)
\(
x^2 — 2x + 1 > 0;
\)
\(
x^2 — 2x — 2 \leq 0,
\)
\(
(x — 1)^2 > 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12,
\)
тогда:
\(
x = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3};
\)
\(
1 — \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}, \quad x \neq 1;
\)
Ответ: 0.

1)
Дано неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{6}} (x + 2) \leq 0.
\)

Основание логарифма \(\frac{1}{6}\) находится между 0 и 1, значит функция убывает. Значит, неравенство
\(
\log_{\frac{1}{6}} (x + 2) \leq 0
\)
эквивалентно
\(
x + 2 \geq \left(\frac{1}{6}\right)^0 = 1,
\)
так как при убывающей функции знак неравенства меняется на противоположный.

Далее, область определения логарифма требует:
\(
x + 2 > 0 — x > -2.
\)

Из неравенства получаем:
\(
x + 2 \geq 1 — x \geq -1.
\)

Пересечение с областью определения даёт:
\(
x \geq -1.
\)

Наименьшее целое решение — это \(x = -1\).

2)
Дано неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{2}} (6 — x) > -2.
\)

Основание \(\frac{1}{2}\) между 0 и 1, функция убывает, значит неравенство эквивалентно:
\(
6 — x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4.
\)

Область определения:
\(
6 — x > 0 — x < 6.
\)

Итого:
\(
0 < 6 — x < 4.
\)

Перепишем:
\(
0 < 6 — x < 4
\)
\(
6 > x > 2.
\)

Таким образом,
\(
2 < x < 6.
\)

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому интервалу, — \(3\).

3)
Дано неравенство:
\(
\log_{0.3} (4x — 3) \geq \log_{0.3} (x + 3).
\)

Основание \(0.3\) между 0 и 1, функция убывает, значит при переходе к аргументам знак меняется на противоположный:
\(
4x — 3 \leq x + 3.
\)

Решаем:
\(
4x — 3 \leq x + 3 — 3x \leq 6 — x \leq 2.
\)

Область определения для логарифмов:
\(
4x — 3 > 0 — x > \frac{3}{4},
\)
\(
x + 3 > 0 — x > -3,
\)
то есть основное ограничение —
\(
x > \frac{3}{4}.
\)

Пересечение с решением неравенства даёт:
\(
\frac{3}{4} < x \leq 2.
\)

Наименьшее целое число в этом интервале — \(1\).

4)
Дано неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x^2 — 2x + 1) \geq -1.
\)

Основание \(\frac{1}{3}\) между 0 и 1, функция убывает, значит:
\(
x^2 — 2x + 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3.
\)

Область определения:
\(
x^2 — 2x + 1 > 0.
\)

Распишем неравенство:
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 3,
\)
\(
x^2 — 2x + 1 — 3 \leq 0,
\)
\(
x^2 — 2x — 2 \leq 0.
\)

Найдём корни квадратного трёхчлена:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12.
\)

Корни:
\(
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}.
\)

Интервал решения:
\(
1 — \sqrt{3} \leq x \leq 1 + \sqrt{3}.
\)

Проверим область определения:
\(
x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 > 0,
\)
то есть \(x \neq 1\).

Итоговое множество решений:
\(
1 — \sqrt{3} \leq x < 1 \quad \text{или} \quad 1 < x \leq 1 + \sqrt{3}.
\)

Поскольку \(\sqrt{3} \approx 1.732\), то:
\(
1 — 1.732 \approx -0.732, \quad 1 + 1.732 \approx 2.732.
\)

Наименьшее целое число в этом множестве — \(0\).