ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_8 (x^2 — 4x + 3) < 1; \\
2) & \quad \log_{0.5} (x^2 + x) > -1; \\
3) & \quad \log_{0.7} (x^2 + 10x + 25) > 0; \\
4) & \quad \log_2 (x^3 — 3x) < 2; \\
5) & \quad \log_2 \left(\frac{4x — 5}{4x + 7}\right) > 0; \\
6) & \quad \lg \left(\frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2}\right) > 0; \\
7) & \quad \log_3 \left(\frac{2x + 5}{x + 1}\right) < 1; \\
8) & \quad \log_4 \left(\frac{3x — 1}{x}\right) < 0.5.
\end{align*}
\)

1)
\(
\log_8 (x^2 — 4x + 3) \leq 1;
\)
\(
x^2 — 4x + 3 \leq 8;
\)
\(
x^2 — 4x — 5 \leq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)
\(
(x + 1)(x — 5) \geq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 5;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 4x + 3 > 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)
\(
(x — 1)(x — 3) > 0;
\)
\(
x < 1, \quad x > 3;
\)

Ответ:
\(
[-1; 1) \cup (3; 5].
\)

2)
\(
\log_{0.5} (x^2 + x) > -1;
\)
\(
x^2 + x < 2;
\)
\(
x^2 + x — 2 < 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\)
\(
(x + 2)(x — 1) < 0;
\)
\(
-2 < x < 1.
\)
Область определения:
\(
x^2 + x > 0;
\)
\(
x(x + 1) > 0;
\)
\(
x < -1, \quad x > 0;
\)
Ответ:
\(
(-2; -1) \cup (0; 1).
\)

3)
\(
\log_{0.7} (x^2 + 10x + 25) > 0;
\)
\(
x^2 + 10x + 25 < 1;
\)
\(
x^2 + 10x + 24 < 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 24 = 100 — 96 = 4,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4;
\)
\(
(x + 6)(x + 4) < 0;
\)
\(
-6 < x < -4;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 10x + 25 > 0;
\)
\(
(x + 5)^2 > 0;
\)
\(
x \neq -5;
\)

Ответ:
\(
(-6; -5) \cup (-5; -4).
\)

4)
\(
\log_2 (x^2 — 3x) \leq 2;
\)
\(
x^2 — 3x \leq 4;
\)
\(
x^2 — 3x — 4 \leq 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;
\)
\(
(x + 1)(x — 4) \geq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 4;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 3x > 0;
\)
\(
x(x — 3) > 0;
\)
\(
x < 0, \quad x > 3;
\)
Ответ:
\(
[-1; 0) \cup (3; 4].
\)

5)
\(
\log_2 \frac{4x — 5}{4x + 7} > 0;
\)
\(
\frac{4x — 5}{4x + 7} > 1;
\)
\(
\frac{(4x — 5) — (4x + 7)}{4x + 7} > 0;
\)
\(
\frac{-12}{4x + 7} > 0;
\)
\(
4x + 7 < 0;
\)
\(
x < -1.75;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; -1.75).
\)

6)
\(
\lg \frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2} > 0;
\)
\(
\frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2} > 1;
\)
\(
\frac{(x^2 — 1) — (x^2 — 4x + 4)}{(x — 2)^2} > 0;
\)
\(
\frac{4x — 5}{(x — 2)^2} > 0;
\)
\(
4x — 5 > 0, \quad x \neq 2;
\)
\(
x > 1.25, \quad x \neq 2;
\)
Ответ:
\(
(1.25; 2) \cup (2; +\infty).
\)

7)
\(
\log_3 \frac{2x + 5}{x + 1} \leq 1;
\)
\(
\frac{2x + 5}{x + 1} \leq 3;
\)
\(
\frac{(2x + 5) — (3x + 3)}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{2 — x}{x + 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{x — 2}{x + 1} \geq 0;
\)
\(
x < -1, \quad x \geq 2;
\)

Область определения:
\(
\frac{2x + 5}{x + 1} > 0;
\)
\(
x < -2.5, \quad x > -1;
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -2.5) \cup [2; +\infty).
\)

8)
\(
\log_4 \frac{3x — 1}{x} \leq 0.5;
\)
\(
\frac{3x — 1}{x} \leq 2;
\)
\(
\frac{(3x — 1) — 2x}{x} \leq 0;
\)
\(
\frac{x — 1}{x} \leq 0;
\)
\(
0 < x \leq 1;
\)

Область определения:
\(
3x — 1 > 0;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{3}; 1\right].
\)

1) Решить неравенство
\(
\log_8 (x^2 — 4x + 3) \leq 1.
\)

Шаг 1. Перепишем неравенство в виде:
\(
x^2 — 4x + 3 \leq 8^1 = 8.
\)

Шаг 2. Приведём к квадратному неравенству:
\(
x^2 — 4x + 3 \leq 8 — x^2 — 4x + 3 — 8 \leq 0 — x^2 — 4x — 5 \leq 0.
\)

Шаг 3. Найдём дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{4 — 6}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5.
\)

Шаг 5. Решаем неравенство:
\(
x^2 — 4x — 5 \leq 0 — (x + 1)(x — 5) \leq 0,
\)
то есть
\(
-1 \leq x \leq 5.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 — 4x + 3 > 0.
\)

Решим:
\(
x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3) > 0.
\)

Знак произведения положителен, если оба множителя положительны или оба отрицательны:
\(
x < 1 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)

Итоговое решение — пересечение области определения и решения неравенства:
\(
[-1; 5] \cap \big( (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \big) = [-1; 1) \cup (3; 5].
\)

2) Решить неравенство
\(
\log_{0.5} (x^2 + x) > -1.
\)

Так как основание логарифма \(0.5\) меньше 1, неравенство меняет знак при переходе к аргументу:
\(
x^2 + x < (0.5)^{-1} = 2.
\)

Шаг 1. Запишем неравенство:
\(
x^2 + x < 2.
\)

Шаг 2. Приведём к стандартному виду:
\(
x^2 + x — 2 < 0.
\)

Шаг 3. Найдём дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
\)

Шаг 4. Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.
\)

Шаг 5. Решение неравенства:
\(
(x + 2)(x — 1) < 0 — -2 < x < 1.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 + x > 0,
\)
то есть
\(
x(x + 1) > 0.
\)

Это выполняется при:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 0.
\)

Итог: пересечение областей:
\(
(-2; 1) \cap \big( (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \big) = (-2; -1) \cup (0; 1).
\)

3) Решить неравенство
\(
\log_{0.7} (x^2 + 10x + 25) > 0.
\)

Основание \(0.7 < 1\), поэтому знак неравенства меняется:
\(
x^2 + 10x + 25 < 1.
\)

Шаг 1. Запишем неравенство:
\(
x^2 + 10x + 25 < 1.
\)

Шаг 2. Приведём к виду:
\(
x^2 + 10x + 24 < 0.
\)

Шаг 3. Дискриминант:
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 — 96 = 4.
\)

Шаг 4. Корни:
\(
x_1 = \frac{-10 — 2}{2} = -6,
\)
\(
x_2 = \frac{-10 + 2}{2} = -4.
\)

Шаг 5. Решение:
\(
(x + 6)(x + 4) < 0 — -6 < x < -4.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 + 10x + 25 > 0,
\)
то есть
\(
(x + 5)^2 > 0,
\)
что верно для всех \(x \neq -5\).

Итог:
\(
(-6; -5) \cup (-5; -4).
\)

4) Решить неравенство
\(
\log_2 (x^2 — 3x) \leq 2.
\)

Шаг 1. Перепишем:
\(
x^2 — 3x \leq 2^2 = 4.
\)

Шаг 2. Приведём к квадратному неравенству:
\(
x^2 — 3x — 4 \leq 0.
\)

Шаг 3. Дискриминант:
\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Шаг 4. Корни:
\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4.
\)

Шаг 5. Решение:
\(
(x + 1)(x — 4) \leq 0 — -1 \leq x \leq 4.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 — 3x > 0,
\)
то есть
\(
x(x — 3) > 0,
\)
что даёт
\(
x < 0 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)

Итог: пересечение:
\(
[-1; 4] \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)) = [-1; 0) \cup (3; 4].
\)

5) Решить неравенство
\(
\log_2 \frac{4x — 5}{4x + 7} > 0.
\)

Шаг 1. Перепишем:
\(
\frac{4x — 5}{4x + 7} > 2^0 = 1.
\)

Шаг 2. Приведём к виду:
\(
\frac{4x — 5}{4x + 7} — 1 > 0 — \frac{4x — 5 — (4x + 7)}{4x + 7} > 0,
\)
то есть
\(
\frac{-12}{4x + 7} > 0.
\)

Шаг 3. Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным (числитель \(-12 < 0\)):
\(
4x + 7 < 0 — x < -\frac{7}{4} = -1.75.
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -1.75).
\)

6) Решить неравенство
\(
\lg \frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2} > 0.
\)

Шаг 1. Перепишем:
\(
\frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2} > 10^0 = 1.
\)

Шаг 2. Приведём к виду:
\(
\frac{x^2 — 1}{(x — 2)^2} — 1 > 0 — \frac{(x^2 — 1) — (x — 2)^2}{(x — 2)^2} > 0.
\)

Шаг 3. Раскроем квадрат в числителе:
\(
(x — 2)^2 = x^2 — 4x + 4,
\)
следовательно:
\(
\frac{x^2 — 1 — (x^2 — 4x + 4)}{(x — 2)^2} = \frac{4x — 5}{(x — 2)^2} > 0.
\)

Шаг 4. Так как знаменатель \((x — 2)^2 > 0\) при \(x \neq 2\), знак дроби определяется числителем:
\(
4x — 5 > 0 — x > \frac{5}{4} = 1.25,
\)
при этом \(x \neq 2\).

Ответ:
\(
(1.25; 2) \cup (2; +\infty).
\)

7) Решить неравенство
\(
\log_3 \frac{2x + 5}{x + 1} \leq 1.
\)

Шаг 1. Перепишем:
\(
\frac{2x + 5}{x + 1} \leq 3^1 = 3.
\)

Шаг 2. Приведём к виду:
\(
\frac{2x + 5}{x + 1} — 3 \leq 0 — \frac{2x + 5 — 3(x + 1)}{x + 1} \leq 0,
\)
то есть
\(
\frac{2x + 5 — 3x — 3}{x + 1} = \frac{2 — x}{x + 1} \leq 0.
\)

Шаг 3. Перепишем:
\(
\frac{x — 2}{x + 1} \geq 0.
\)

Шаг 4. Решаем неравенство:
\(
\frac{x — 2}{x + 1} \geq 0.
\)

Знак дроби положителен, если числитель и знаменатель одного знака:
— оба положительны: \(x \geq 2\) и \(x > -1\) (то есть \(x \geq 2\)),
— оба отрицательны: \(x < 2\) и \(x < -1\) (то есть \(x < -1\)).

Итог:
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x \geq 2.
\)

Область определения логарифма:
\(
\frac{2x + 5}{x + 1} > 0.
\)

Рассмотрим знак дроби: числитель \(2x + 5 > 0 — x > -\frac{5}{2} = -2.5\),
знаменатель \(x + 1 > 0 — x > -1\).

Числитель и знаменатель должны быть одного знака, значит:
— оба положительны: \(x > -1\) (так как \(x > -1\) сильнее чем \(x > -2.5\)),
— оба отрицательны: \(x < -2.5\).

Итог:
\(
x < -2.5 \quad \text{или} \quad x > -1.
\)

Итоговое решение (пересечение):
\(
(-\infty; -2.5) \cup [2; +\infty).
\)

8) Решить неравенство
\(
\log_4 \frac{3x — 1}{x} \leq 0.5.
\)

Шаг 1 Перепишем:
\(
\frac{3x — 1}{x} \leq 4^{0.5} = 2.
\)

Шаг 2. Приведём к виду:
\(
\frac{3x — 1}{x} — 2 \leq 0 — \frac{3x — 1 — 2x}{x} \leq 0,
\)
то есть
\(
\frac{x — 1}{x} \leq 0.
\)

Шаг 3. Решаем неравенство:
\(
\frac{x — 1}{x} \leq 0.
\)

Знак дроби не положителен, если числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю:
— \(x — 1 \leq 0 — x \leq 1\),
— \(x\) и \(x — 1\) имеют разные знаки.

Рассмотрим интервалы:
— при \(x > 0\), чтобы дробь была \(\leq 0\), нужно \(x — 1 \leq 0\), то есть \(0 < x \leq 1\),
— при \(x < 0\), знаменатель отрицателен, числитель \(x — 1 < 0\), дробь положительна.

Область определения логарифма:
\(
\frac{3x — 1}{x} > 0.
\)

Рассмотрим знак дроби:
— числитель \(3x — 1 > 0 — x > \frac{1}{3}\),
— знаменатель \(x > 0\).

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака:
— оба положительны: \(x > \frac{1}{3}\),
— оба отрицательны: \(x < 0\).

Итоговое решение — пересечение:
\(
( \frac{1}{3} ; 1 ].
\)