ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_{\frac{1}{3}} (x^2 — 5x + 7) > 0; \\
2) & \quad \log_{9} (x^2 — 6x + 8) < 0.5; \\
3) & \quad \log_{0.5} (x^2 + 3x) > -2; \\
4) & \quad \log_{0.3} (x^2 — 2x + 1) > 0; \\
5) & \quad \log_{4} \left(\frac{3x — 1}{x — 1}\right) < 1; \\
6) & \quad \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{2x — 1}{3x + 1}\right) > 1.
\end{align*}
\)

1) \(\log_1 (x^2 — 5x + 7) > 0;\)
\(x^2 — 5x + 7 < 1;\)
\(x^2 — 5x + 6 < 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,\) тогда:
\(x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;\)
\((x — 2)(x — 3) < 0;\)
\(2 < x < 3;\)
Область определения:
\(x^2 — 5x + 7 > 0;\)
\(D = 5^2 — 4 \cdot 7 = 25 — 28 = -3;\)
\(D < 0\) и \(a > 0,\) значит \(x \in \mathbb{R};\)
Ответ: \((2; 3).\)

2) \(\log_9 (x^2 — 6x + 8) \leq 0,5;\)
\(x^2 — 6x + 8 \leq 3;\)
\(x^2 — 6x + 5 \leq 0;\)
\(D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16,\) тогда:
\(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1\) и \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;\)
\((x — 1)(x — 5) \leq 0;\)
\(1 \leq x \leq 5;\)
Область определения:
\(x^2 — 6x + 8 > 0;\)
\(
D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4;
\)
\(
(x — 2)(x — 4) > 0;
\)
\(
x < 2, \quad x > 4;
\)
Ответ: \([1; 2) \cup (4; 5].\)

3)
\(
\log_{0.5}(x^2 + 3x) \geq -2;
\)
\(
x^2 + 3x \leq 4;
\)
\(
x^2 + 3x — 4 \leq 0;
\)
\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;
\)
\(
(x + 4)(x — 1) \leq 0;
\)
\(
-4 \leq x \leq 1;
\)
Область определения:
\(
x^2 + 3x > 0;
\)
\(
x(x + 3) > 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > 0;
\)
Ответ: \([-4; -3) \cup (0; 1].\)

4)
\(
\log_{0.3}(x^2 — 2x + 1) \geq 0;
\)
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 1;
\)
\(
x^2 — 2x \leq 0;
\)
\(
x(x — 2) \leq 0;
\)
\(
0 \leq x \leq 2;
\)
Область определения:
\(
x^2 — 2x + 1 > 0;
\)
\(
(x — 1)^2 > 0;
\)
\(
x \neq 1;
\)
Ответ: \([0; 1) \cup (1; 2].\)

5)
\(
\log_4 \frac{3x — 1}{x — 1} \leq 1;
\)
\(
\frac{3x — 1}{x — 1} \leq 4;
\)
\(
\frac{(3x — 1) — (4x — 4)}{x — 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{3 — x}{x — 1} \leq 0;
\)
\(
\frac{x — 3}{x — 1} \geq 0;
\)
\(
x < 1, \quad x \geq 3;
\)
Область определения:
\(
\frac{3x — 1}{x — 1} > 0;
\)
\(
x < \frac{1}{3}, \quad x > 1;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; \frac{1}{3}) \cup [3; +\infty).
\)

6)
\(
\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x — 1}{3x + 1} > 1;
\)
\(
\frac{2x — 1}{3x + 1} < \frac{1}{2};
\)
\(
\frac{(4x — 2) — (3x + 1)}{2(3x + 1)} < 0;
\)
\(
\frac{x — 3}{3x + 1} < 0;
\)
\(
-\frac{1}{3} < x < 3;
\)
Область определения:
\(
\frac{2x — 1}{3x + 1} > 0;
\)
\(
x < -\frac{1}{3}, \quad x > \frac{1}{2};
\)
Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 3\right).
\)

1)
Рассмотрим неравенство:
\(
\log_1 (x^2 — 5x + 7) > 0.
\)

Поскольку основание логарифма равно 1, логарифм не определён (логарифм с основанием 1 не существует), поэтому это условие некорректно. Возможно, опечатка, но если считать, что основание другое, то идём дальше.

Далее решается неравенство:
\(
x^2 — 5x + 7 < 1,
\)
что эквивалентно
\(
x^2 — 5x + 6 < 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1.
\)

Найдём корни:
\(
x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.
\)

Неравенство \((x — 2)(x — 3) < 0\) верно, когда
\(
2 < x < 3.
\)

Область определения логарифма задаётся условием:
\(
x^2 — 5x + 7 > 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 — 28 = -3 < 0.
\)

Поскольку \(a = 1 > 0\) и дискриминант отрицательный, выражение \(x^2 — 5x + 7\) положительно для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Ответ:
\(
(2; 3).
\)

2)
Дано неравенство:
\(
\log_9 (x^2 — 6x + 8) \leq 0.5.
\)

Перепишем с использованием свойства логарифмов:
\(
x^2 — 6x + 8 \leq 9^{0.5} = 3.
\)

Тогда:
\(
x^2 — 6x + 8 \leq 3 — x^2 — 6x + 5 \leq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.
\)

Неравенство \((x — 1)(x — 5) \leq 0\) выполняется при
\(
1 \leq x \leq 5.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 — 6x + 8 > 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4.
\)

Так как \(a=1>0\), выражение положительно вне корней:
\(
x < 2 \quad \text{или} \quad x > 4.
\)

Пересечение с областью решения:
\(
[1; 5] \cap ((-\infty; 2) \cup (4; +\infty)) = [1; 2) \cup (4; 5].
\)

Ответ:
\(
[1; 2) \cup (4; 5].
\)

3)
Неравенство:
\(
\log_{0.5}(x^2 + 3x) \geq -2.
\)

Так как основание \(0.5 < 1\), знак неравенства меняется при переходе к аргументу:
\(
x^2 + 3x \leq 0.5^{-2} = 4.
\)

Тогда:
\(
x^2 + 3x — 4 \leq 0.
\)

Вычислим дискриминант:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.
\)

Неравенство \((x + 4)(x — 1) \leq 0\) верно при
\(
-4 \leq x \leq 1.
\)

Область определения:
\(
x^2 + 3x > 0,
\)
или
\(
x(x + 3) > 0.
\)

Это верно, когда
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 0.
\)

Пересечение областей:
\(
[-4; 1] \cap ((-\infty; -3) \cup (0; +\infty)) = [-4; -3) \cup (0; 1].
\)

Ответ:
\(
[-4; -3) \cup (0; 1].
\)

4)
Неравенство:
\(
\log_{0.3}(x^2 — 2x + 1) \geq 0.
\)

Так как основание \(0.3 < 1\), меняется знак неравенства:
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 1.
\)

Раскроем:
\(
x^2 — 2x + 1 \leq 1 — x^2 — 2x \leq 0.
\)

Вынесем \(x\) за скобки:
\(
x(x — 2) \leq 0.
\)

Это верно при
\(
0 \leq x \leq 2.
\)

Область определения логарифма:
\(
x^2 — 2x + 1 > 0,
\)
то есть
\(
(x — 1)^2 > 0,
\)
то есть
\(
x \neq 1.
\)

Ответ:
\(
[0; 1) \cup (1; 2].
\)

5)
Неравенство:
\(
\log_4 \frac{3x — 1}{x — 1} \leq 1.
\)

Переходим к аргументу:
\(
\frac{3x — 1}{x — 1} \leq 4.
\)

Переносим всё в одну дробь:
\(
\frac{3x — 1}{x — 1} — 4 \leq 0 — \frac{3x — 1 — 4(x — 1)}{x — 1} \leq 0.
\)

Упростим числитель:
\(
3x — 1 — 4x + 4 = -x + 3.
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{3 — x}{x — 1} \leq 0.
\)

Перепишем:
\(
\frac{x — 3}{x — 1} \geq 0.
\)

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
— Числитель \(x — 3 \geq 0\) при \(x \geq 3\).
— Знаменатель \(x — 1 > 0\) при \(x > 1\).

Чтобы дробь была неотрицательной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак или числитель равен нулю.

Решения:
\(
x < 1, \quad \text{или} \quad x \geq 3.
\)

Область определения логарифма:
\(
\frac{3x — 1}{x — 1} > 0.
\)

Знаменатель не должен быть равен нулю, а аргумент положительным.

Рассмотрим числитель и знаменатель:
— \(3x — 1 > 0 — x > \frac{1}{3}\).
— \(x — 1 > 0 — x > 1\).

Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак. Возможны два случая:
1) \(x > 1\) (оба положительны).
2) \(x < \frac{1}{3}\) (оба отрицательны).

Ответ:
\(
(-\infty; \frac{1}{3}) \cup [3; +\infty).
\)

6)
Неравенство:
\(
\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x — 1}{3x + 1} > 1.
\)

Основание меньше 1, значит знак неравенства меняется при переходе к аргументу:
\(
\frac{2x — 1}{3x + 1} < \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}.
\)

Переносим всё в одну дробь:
\(
\frac{2x — 1}{3x + 1} — \frac{1}{2} < 0 — \frac{2(2x — 1) — (3x + 1)}{2(3x + 1)} < 0.
\)

Упростим числитель:
\(
4x — 2 — 3x — 1 = x — 3.
\)

Итоговое неравенство:
\(
\frac{x — 3}{2(3x + 1)} < 0.
\)

Так как \(2 > 0\), можно рассмотреть:
\(
\frac{x — 3}{3x + 1} < 0.
\)

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:
— \(x — 3 < 0 — x < 3.\)
— \(3x + 1 > 0 — x > -\frac{1}{3}.\)

Для дроби меньше нуля числитель и знаменатель должны иметь противоположные знаки, значит:
\(
-\frac{1}{3} < x < 3.
\)

Область определения:
\(
\frac{2x — 1}{3x + 1} > 0,
\)
то есть числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак.

Рассмотрим:
— \(2x — 1 > 0 — x > \frac{1}{2}.\)
— \(3x + 1 > 0 — x > -\frac{1}{3}.\)

Или
— \(2x — 1 < 0 — x < \frac{1}{2}.\)
— \(3x + 1 < 0 — x < -\frac{1}{3}.\)

Пересечение даёт:
\(
x < -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2}.
\)

Пересечём с решением неравенства:
\(
(-\frac{1}{3}; 3) \cap \left((-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)\right) = \left(\frac{1}{2}; 3\right).
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 3\right).
\)