ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

\(
\begin{aligned}
1) & \quad \log_{0.3} (x^2 + x — 12) > \log_{0.3} (6x — 6); \\
2) & \quad \lg (x^2 — x) < \lg (3x — 3); \\
3) & \quad \log_{0.8} (1 — x^2) > \log_{0.8} (x^2 + 5x — 2); \\
4) & \quad 2\log_2 (2x + 7) > 5 + \log_2 (x + 2); \\
5) & \quad \log_3 (x^2 + 2x — 3) < \log_3 (x + 9); \\
6) & \quad \log_{\frac{1}{7}} (2x^2 + 3x + 1) > 2\log_{\frac{1}{7}} (1 — x).
\end{aligned}
\)

1)
\(
\log_{0.3}(x^2 + x — 12) \geq \log_{0.3}(6x — 6);
\)
\(
x^2 + x — 12 \leq 6x — 6;
\)
\(
x^2 — 5x — 6 \leq 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;
\)
\(
(x + 1)(x — 6) \leq 0;
\)
\(
-1 \leq x \leq 6;
\)

Область определения:
\(
x^2 + x — 12 > 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
\(
(x + 4)(x — 3) > 0;
\)
\(
x < -4, \quad x > 3;
\)

Ответ:
\(
(3; 6].
\)

2)
\(
\lg(x^2 — x) \leq \lg(3x — 3);
\)
\(
x^2 — x \leq 3x — 3;
\)
\(
x^2 — 4x + 3 \leq 0;
\)
\(
D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;
\)
\(
(x — 1)(x — 3) \leq 0;
\)
\(
1 \leq x \leq 3;
\)

Область определения:
\(
x^2 — x > 0;
\)
\(
x(x — 1) > 0;
\)
\(
x < 0, \quad x > 1;
\)

Ответ:
\(
(1; 3].
\)

3)
\(
\log_{0.8}(1 — x^2) > \log_{0.8}(x^2 + 5x — 2);
\)
\(
1 — x^2 < x^2 + 5x — 2;
\)
\(
2x^2 + 5x — 3 > 0;
\)
\(
D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};
\)
\(
(x + 3)\left(x — \frac{1}{2}\right) > 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > \frac{1}{2};
\)

Область определения:
\(
1 — x^2 > 0;
\)
\(
x^2 — 1 < 0;
\)
\(
(x + 1)(x — 1) < 0;
\)
\(
-1 < x < 1;
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 1\right).
\)

4)
\(
2 \log_2 (2x + 7) \geq 5 + \log_2 (x + 2);
\)
\(
\log_2 (2x + 7)^2 \geq \log_2 32 (x + 2);
\)
\(
4x^2 + 28x + 49 \geq 32x + 64;
\)
\(
4x^2 — 4x — 15 \geq 0;
\)
\(
D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 15 = 16 + 240 = 256,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{4 — 16}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{5}{2};
\)
\(
(x + \frac{3}{2})(x — \frac{5}{2}) \geq 0;
\)
\(
x \leq -\frac{3}{2}, \quad x \geq \frac{5}{2};
\)

Область определения:
\(
2x + 7 > 0, \quad x + 2 > 0;
\)
\(
x > -\frac{7}{2}, \quad x > -2;
\)

Ответ:
\(
(-2; -\frac{3}{2}] \cup [\frac{5}{2}; +\infty).
\)

5)
\(
\log_3 (x^2 + 2x — 3) \leq \log_3 (x + 9);
\)
\(
x^2 + 2x — 3 \leq x + 9;
\)
\(
x^2 + x — 12 \leq 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;
\)
\(
(x + 4)(x — 3) \leq 0;
\)
\(
-4 \leq x \leq 3;
\)

Область определения:
\(
x^2 + 2x — 3 > 0;
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)
\(
(x + 3)(x — 1) > 0;
\)
\(
x < -3, \quad x > 1;
\)

Ответ:
\(
[-4; -3) \cup (1; 3].
\)

6)
\(
\log_{\frac{1}{7}} (2x^2 + 3x + 1) \geq 2 \log_{\frac{1}{7}} (1 — x);
\)
\(
\log_{\frac{1}{7}} (2x^2 + 3x + 1) \geq \log_{\frac{1}{7}} (1 — x)^2;
\)
\(
2x^2 + 3x + 1 \leq (1 — x)^2;
\)
\(
2x^2 + 3x + 1 \leq 1 — 2x + x^2;
\)
\(
x^2 + 5x \leq 0;
\)
\(
x(x + 5) \leq 0;
\)
\(
-5 \leq x \leq 0;
\)

Область определения:
\(
2x^2 + 3x + 1 > 0, \quad 1 — x > 0;
\)
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1,
\)
тогда:
\(
x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = -1, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2};
\)
\(
(x + 1) \left(x + \frac{1}{2}\right) > 0;
\)
\(
x < -1, \quad x > -\frac{1}{2}, \quad x < 1;
\)

Ответ:
\(
[-5; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right].
\)

1)
Дано неравенство:
\(
\log_{0.3}(x^2 + x — 12) \geq \log_{0.3}(6x — 6).
\)

Так как основание логарифма \(0.3\) — число между 0 и 1, функция логарифма убывает, следовательно, при переходе к неравенству без логарифмов знак меняется на противоположный:
\(
x^2 + x — 12 \leq 6x — 6.
\)

Приведём к стандартному виду:
\(
x^2 + x — 12 — 6x + 6 \leq 0,
\)
\(
x^2 — 5x — 6 \leq 0.
\)

Найдём дискриминант:
\(
D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49.
\)

Корни квадратного уравнения:
\(
x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6.
\)

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, неравенство \(\leq 0\) выполняется между корнями:
\(
-1 \leq x \leq 6.
\)

Область определения исходного неравенства требует:
\(
x^2 + x — 12 > 0,
\)
и
\(
6x — 6 > 0.
\)

Рассмотрим первое неравенство:
\(
x^2 + x — 12 > 0.
\)

Его корни:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49,
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \(> 0\) выполняется вне интервала между корнями:
\(
x < -4 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)

Второе неравенство:
\(
6x — 6 > 0 — x > 1.
\)

Пересечение условий области определения:
\(
(x < -4 \quad \text{или} \quad x > 3) \quad \text{и} \quad x > 1,
\)
откуда остаётся только
\(
x > 3.
\)

Объединяем с решением неравенства:
\(
-1 \leq x \leq 6,
\)
пересечение с областью определения:
\(
x \in (3; 6].
\)

Ответ:
\(
(3; 6].
\)

2)
Дано:
\(
\lg(x^2 — x) \leq \lg(3x — 3).
\)

Основание логарифма 10, больше 1, значит знак не меняется при переходе:
\(
x^2 — x \leq 3x — 3.
\)

Переносим всё в левую часть:
\(
x^2 — x — 3x + 3 \leq 0,
\)
\(
x^2 — 4x + 3 \leq 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3.
\)

Парабола вверх, неравенство \(\leq 0\) выполняется между корнями:
\(
1 \leq x \leq 3.
\)

Область определения требует:
\(
x^2 — x > 0,
\)
\(
3x — 3 > 0.
\)

Рассмотрим первое:
\(
x(x — 1) > 0,
\)
значит либо
\(
x < 0,
\)
либо
\(
x > 1.
\)

Второе:
\(
3x — 3 > 0 — x > 1.
\)

Пересечение:
\(
x > 1.
\)

Итоговое пересечение решения и области определения:
\(
x \in (1; 3].
\)

Ответ:
\(
(1; 3].
\)

3)
Дано:
\(
\log_{0.8}(1 — x^2) > \log_{0.8}(x^2 + 5x — 2).
\)

Основание \(0.8\), меньше 1, функция убывает, меняем знак неравенства при переходе:
\(
1 — x^2 < x^2 + 5x — 2.
\)

Переносим всё в одну сторону:
\(
1 — x^2 — x^2 — 5x + 2 < 0,
\)
\(
-2x^2 — 5x + 3 < 0,
\)
умножим на \(-1\) (знак меняется):
\(
2x^2 + 5x — 3 > 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
\)

Парабола вверх, неравенство \(> 0\) выполняется вне интервала между корнями:
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2}.
\)

Область определения:
\(
1 — x^2 > 0,
\)
\(
x^2 — 1 < 0,
\)
\(
(x + 1)(x — 1) < 0,
\)
то есть
\(
-1 < x < 1.
\)

Пересечение с решением:
\(
(x < -3 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2}) \quad \cap \quad (-1 < x < 1),
\)
откуда
\(
\frac{1}{2} < x < 1.
\)

Ответ:
\(
\left(\frac{1}{2}; 1\right).
\)

4)
Дано:
\(
2 \log_2 (2x + 7) \geq 5 + \log_2 (x + 2).
\)

Перенесём всё в левую часть:
\(
2 \log_2 (2x + 7) — \log_2 (x + 2) \geq 5.
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\log_2 (2x + 7)^2 — \log_2 (x + 2) \geq 5,
\)
\(
\log_2 \frac{(2x + 7)^2}{x + 2} \geq 5.
\)

Перепишем:
\(
\frac{(2x + 7)^2}{x + 2} \geq 2^5 = 32.
\)

Умножим обе части на \(x + 2\) (учитывая, что \(x + 2 > 0\), см. ниже):
\(
(2x + 7)^2 \geq 32 (x + 2).
\)

Раскроем скобки:
\(
4x^2 + 28x + 49 \geq 32x + 64,
\)
\(
4x^2 + 28x + 49 — 32x — 64 \geq 0,
\)
\(
4x^2 — 4x — 15 \geq 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{4 — 16}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2},
\)
\(
x_2 = \frac{4 + 16}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}.
\)

Парабола вверх, неравенство \(\geq 0\) выполняется на внешних промежутках:
\(
x \leq -\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{5}{2}.
\)

Область определения:
\(
2x + 7 > 0 — x > -\frac{7}{2},
\)
\(
x + 2 > 0 — x > -2.
\)

Пересечение условий:
\(
x > -2.
\)

Итоговое пересечение решения и области определения:
\(
\left(-2; -\frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}; +\infty\right).
\)

Ответ:
\(
\left(-2; -\frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}; +\infty\right).
\)

5)
Дано:
\(
\log_3 (x^2 + 2x — 3) \leq \log_3 (x + 9).
\)

Основание больше 1, знак не меняется:
\(
x^2 + 2x — 3 \leq x + 9.
\)

Переносим в левую часть:
\(
x^2 + 2x — 3 — x — 9 \leq 0,
\)
\(
x^2 + x — 12 \leq 0.
\)

Дискриминант:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.
\)

Корни:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4,
\)
\(
x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3.
\)

Парабола вверх, неравенство \(\leq 0\) выполняется между корнями:
\(
-4 \leq x \leq 3.
\)

Область определения:
\(
x^2 + 2x — 3 > 0,
\)
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)
\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3,
\)
\(
x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, область определения — вне интервала между корнями:
\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1.
\)

Пересечение с решением:
\(
[-4; 3] \cap \left((-\infty; -3) \cup (1; +\infty)\right) = [-4; -3) \cup (1; 3].
\)

Ответ:
\(
[-4; -3) \cup (1; 3].
\)

6)
Дано:
\(
\log_{\frac{1}{7}} (2x^2 + 3x + 1) \geq 2 \log_{\frac{1}{7}} (1 — x).
\)

Основание \(\frac{1}{7}\) меньше 1, функция убывает, меняем знак при переходе:
\(
\log_{\frac{1}{7}} (2x^2 + 3x + 1) \geq \log_{\frac{1}{7}} (1 — x)^2
\)
\(
2x^2 + 3x + 1 \leq (1 — x)^2.
\)

Раскроем правую часть:
\(
2x^2 + 3x + 1 \leq 1 — 2x + x^2,
\)
\(
2x^2 + 3x + 1 — 1 + 2x — x^2 \leq 0,
\)
\(
x^2 + 5x \leq 0.
\)

Факторизуем:
\(
x(x + 5) \leq 0.
\)

Решение:
\(
-5 \leq x \leq 0.
\)

Область определения требует:
\(
2x^2 + 3x + 1 > 0,
\)
\(
1 — x > 0 — x < 1.
\)

Для первого неравенства найдем корни:
\(
D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1,
\)
\(
x_1 = \frac{-3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1,
\)
\(
x_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.
\)

Парабола вверх, следовательно:
\(
(2x^2 + 3x + 1) > 0 \quad \text{при} \quad x < -1 \quad \text{или} \quad x > -\frac{1}{2}.
\)

Объединяем с условием \(x < 1\):
\(
x < -1 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{2} < x < 1.
\)

Пересекаем с решением неравенства:
\(
[-5; 0] \cap \left((-\infty; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 1\right)\right) = [-5; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right].
\)

Ответ:
\(
[-5; -1) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right].
\)