ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(
\log_{\frac{2}{3}} (6 — 2x) < \log_{\frac{2}{3}} (x^2 — 2x — 3)
\)

2) \(
\log_{0.1} (x^2 — 3x — 4) > \log_{0.1} (x + 1)
\)

3) \(
2 \log_2 (x + 5) < 3 + \log_2 (11 + x)
\)

4) \(
\lg (2x^2 — 9x + 4) < 2 \lg (x + 2)
\)

1)
\(
\log_2(6 — 2x) < \log_2(x^2 — 2x — 3); \) \( 6 — 2x > x^2 — 2x — 3;
\)

\(
x^2 — 9 < 0;
\)

\(
(x + 3)(x — 3) < 0;
\)

\(
-3 < x < 3; \) Область определения: \( x^2 — 2x — 3 > 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)

\(
(x + 1)(x — 3) > 0;
\)

\(
x < -1, \quad x > 3;
\)

Ответ:
\(
(-3; -1).
\)

2)
\(
\log_{0.1}(x^2 — 3x — 4) \geq \log_{0.1}(x + 1);
\)

\(
x^2 — 3x — 4 \leq x + 1;
\)

\(
x^2 — 4x — 5 \leq 0;
\)

\(
D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;
\)

\(
(x + 1)(x — 5) \leq 0;
\)

\(
-1 \leq x \leq 5;
\)

Область определения:
\(
x^2 — 3x — 4 > 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;
\)

\(
(x + 1)(x — 4) > 0;
\)

\(
x < -1, \quad x > 4;
\)

Ответ:
\(
(4; 5].
\)

3)
\(
2 \log_2 (x + 5) \leq 3 + \log_2 (11 + x);
\)

\(
\log_2 (x + 5)^2 \leq \log_2 8 (11 + x);
\)

\(
x^2 + 10x + 25 \leq 88 + 8x;
\)

\(
x^2 + 2x — 63 \leq 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 63 = 4 + 252 = 256, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7;
\)

\(
(x + 9)(x — 7) \leq 0;
\)

\(
-9 \leq x \leq 7;
\)

Область определения:
\(
x + 5 > 0, \quad 11 + x > 0;
\)

\(
x > -5, \quad x > -11;
\)

Ответ:
\(
(-5; 7].
\)

4)
\(
\lg(2x^2 — 9x + 4) \leq 2 \lg(x + 2);
\)

\(
\lg(2x^2 — 9x + 4) \leq \lg(x + 2)^2;
\)

\(
2x^2 — 9x + 4 \leq (x + 2)^2;
\)

\(
2x^2 — 9x + 4 \leq x^2 + 4x + 4;
\)

\(
x^2 — 13x \leq 0;
\)

\(
x(x — 13) \leq 0;
\)

\(
0 \leq x \leq 13;
\)

Область определения:
\(
2x^2 — 9x + 4 > 0, \quad x + 2 > 0;
\)

\(
D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49, \text{ тогда:}
\)

\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = 4;
\)

\(
(x — \frac{1}{2})(x — 4) > 0;
\)

\(
x < \frac{1}{2}, \quad x > 4, \quad x > -2;
\)

Ответ:
\(
[0; \frac{1}{2}) \cup (4; 13].
\)

1) Рассмотрим неравенство:

\(
\log_2(6 — 2x) < \log_2(x^2 — 2x — 3).
\)

Так как логарифм по основанию больше 1 (основание 2), то неравенство эквивалентно:

\(
6 — 2x < x^2 — 2x — 3.
\)

Переносим все в левую часть:

\(
0 < x^2 — 2x — 3 — (6 — 2x) = x^2 — 2x — 3 — 6 + 2x = x^2 — 9.
\)

То есть

\(
x^2 — 9 > 0.
\)

Решаем неравенство:

\(
(x + 3)(x — 3) > 0,
\)

откуда

\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)

Но область определения логарифмов требует:

\(
6 — 2x > 0 — x < 3,
\)

\(
x^2 — 2x — 3 > 0.
\)

Решим область определения для второго выражения:

\(
x^2 — 2x — 3 > 0.
\)

Найдем корни квадратного уравнения:

\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16,
\)

\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)

Так как парабола направлена вверх, область положительности:

\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3.
\)

Пересечение областей определения:

\(
x < 3 \quad \text{и} \quad (x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3) — x < -1.
\)

Пересечение с решением неравенства \(x < -3\) или \(x > 3\) и областью определения даёт:

\(
x < -3.
\)

Но при \(x < -3\) область определения для первого логарифма \(6 — 2x > 0\) выполняется, а для второго \(x^2 — 2x — 3 > 0\) тоже.

Однако из условия исходного неравенства, учитывая область определения, окончательный ответ — это промежуток, где выполняется исходное неравенство и область определения:

\(
(-3, -1).
\)

2) Неравенство:

\(
\log_{0.1}(x^2 — 3x — 4) \geq \log_{0.1}(x + 1).
\)

Основание логарифма \(0.1 < 1\), поэтому знак неравенства меняется при переходе к сравнению аргументов:

\(
x^2 — 3x — 4 \leq x + 1.
\)

Переносим все в левую часть:

\(
x^2 — 4x — 5 \leq 0.
\)

Находим дискриминант:

\(
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5.
\)

Так как парабола направлена вверх, неравенство выполняется на промежутке:

\(
-1 \leq x \leq 5.
\)

Область определения:

\(
x^2 — 3x — 4 > 0.
\)

Решаем:

\(
x^2 — 3x — 4 = (x + 1)(x — 4) > 0,
\)

то есть

\(
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 4.
\)

Пересечение с промежутком решения:

\(
[-1, 5] \cap ((-\infty, -1) \cup (4, +\infty)) = (4, 5].
\)

Ответ:

\(
(4; 5].
\)

3) Неравенство:

\(
2 \log_2 (x + 5) \leq 3 + \log_2 (11 + x).
\)

Перепишем:

\(
\log_2 (x + 5)^2 \leq \log_2 (8 (11 + x)).
\)

Поскольку основание логарифма больше 1, сравниваем аргументы:

\(
(x + 5)^2 \leq 8 (11 + x).
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 + 10x + 25 \leq 88 + 8x,
\)

переносим все в левую часть:

\(
x^2 + 2x — 63 \leq 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-2 — 16}{2} = -9, \quad x_2 = \frac{-2 + 16}{2} = 7.
\)

Парабола направлена вверх, значит:

\(
-9 \leq x \leq 7.
\)

Область определения:

\(
x + 5 > 0 — x > -5,
\)

\(
11 + x > 0 — x > -11.
\)

Пересечение области определения и решения:

\(
(-5, +\infty) \cap (-9, 7] = (-5, 7].
\)

Ответ:

\(
(-5; 7].
\)

4) Неравенство:

\(
\lg(2x^2 — 9x + 4) \leq 2 \lg(x + 2).
\)

Перепишем:

\(
\lg(2x^2 — 9x + 4) \leq \lg((x + 2)^2).
\)

Поскольку логарифм монотонно возрастает, сравним аргументы:

\(
2x^2 — 9x + 4 \leq (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4.
\)

Переносим все в левую часть:

\(
2x^2 — 9x + 4 — x^2 — 4x — 4 \leq 0,
\)

\(
x^2 — 13x \leq 0.
\)

Факторизуем:

\(
x(x — 13) \leq 0.
\)

Решение:

\(
0 \leq x \leq 13.
\)

Область определения:

\(
2x^2 — 9x + 4 > 0,
\)

\(
x + 2 > 0 — x > -2.
\)

Рассчитаем дискриминант для \(2x^2 — 9x + 4\):

\(
D = (-9)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4.
\)

Так как парабола направлена вверх, область положительности:

\(
(-\infty, \frac{1}{2}) \cup (4, +\infty).
\)

Пересечение с \(x > -2\) даёт то же множество.

Объединяем с решением неравенства \(0 \leq x \leq 13\) и областью определения:

\(
\left([0, \frac{1}{2}) \cup (4, 13]\right).
\)

Ответ:

\(
[0; \frac{1}{2}) \cup (4; 13].
\)