ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 7.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( \lg x + \lg (x-3) > 1 \)

2) \( \log_{\frac{1}{3}} (x+2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1 \)

3) \( \log_2 x + \log_2 (x+4) < 5 \)

4) \( \log_{0.1} (x-5) + \log_{0.1} (x-2) > -1 \)

5) \( \log_6 (5x+8) + \log_6 (x+1) < 1 — \log_6 3 \)

6) \( \log_3 (1-x) + \log_3 (-5x-2) > 2\log_3 2 + 1 \)

1)
\(
\lg x + \lg (x — 3) > 1;
\)

\(
\lg x(x — 3) > \lg 10;
\)

\(
x^2 — 3x > 10;
\)

\(
x^2 — 3x — 10 > 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;
\)

\(
(x + 2)(x — 5) > 0;
\)

\(
x < -2, \quad x > 5;
\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x — 3 > 0;
\)

\(
x > 0, \quad x > 3;
\)

Ответ:
\(
(5; +\infty).
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1;
\)

\(
\log_{\frac{1}{3}} x(x + 2) < \log_{\frac{1}{3}} 3;
\)

\(
x^2 + 2x > 3;
\)

\(
x^2 + 2x — 3 > 0;
\)

\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;
\)

\(
(x + 3)(x — 1) > 0;
\)

\(
x < -3, \quad x > 1;
\)

Область определения:

\(
x + 2 > 0, \quad x > 0;
\)

Ответ:
\(
(1; +\infty).
\)

3)
\(
\log_2 x + \log_2 (x + 4) < 5;
\)

\(
\log_2 x(x + 4) < \log_2 32;
\)

\(
x^2 + 4x < 32;
\)

\(
x^2 + 4x — 32 < 0;
\)

\(
D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-4 — 12}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4;
\)

\(
(x + 8)(x — 4) < 0;
\)

\(
-8 < x < 4;
\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x + 4 > 0;
\)

то есть

\(
x > 0, \quad x > -4;
\)

Ответ:
\(
(0; 4).
\)

4)
\(
\log_{0.1} (x — 5) + \log_{0.1} (x — 2) \geq -1;
\)

\(
\log_{0.1} (x — 5)(x — 2) \geq \log_{0.1} 10;
\)

\(
x^2 — 2x — 5x + 10 \leq 10;
\)

\(
x^2 — 7x \leq 0;
\)

\(
x(x — 7) \leq 0;
\)

\(
0 \leq x \leq 7;
\)

Область определения:

\(
x — 5 > 0, \quad x — 2 > 0;
\)

то есть

\(
x > 5, \quad x > 2;
\)

Ответ:
\(
(5; 7].
\)

5)
\(
\log_6 (5x + 8) + \log_6 (x + 1) \leq 1 — \log_6 3;
\)

\(
\log_6 (5x + 8)(x + 1) \leq \log_6 (6 : 3);
\)

\(
5x^2 + 5x + 8x + 8 \leq 2;
\)

\(
5x^2 + 13x + 6 \leq 0;
\)

\(
D = 13^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{-13 — 7}{2 \cdot 5} = -2, \quad x_2 = \frac{-13 + 7}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{5};
\)

\(
(x + 2) \left(x + \frac{3}{5}\right) \leq 0;
\)

\(
-2 \leq x \leq -\frac{3}{5};
\)

Область определения:

\(
5x + 8 > 0, \quad x + 1 > 0;
\)

то есть

\(
x > -\frac{8}{5}, \quad x > -1;
\)

Ответ:
\(
(-1; -\frac{3}{5}].
\)

6)
\(
\log_3 (1 — x) + \log_3 (-5x — 2) \geq 2 \log_3 2 + 1;
\)

\(
\log_3 (1 — x)(-5x — 2) \geq \log_3 (2^2 \cdot 3);
\)

\(
-5x — 2 + 5x^2 + 2x \geq 12;
\)

\(
5x^2 — 3x — 14 \geq 0;
\)

\(
D = 3^2 + 4 \cdot 5 \cdot 14 = 9 + 280 = 289,
\)

тогда:

\(
x_1 = \frac{3 — 17}{2 \cdot 5} = -\frac{7}{5}, \quad x_2 = \frac{3 + 17}{2 \cdot 5} = 2;
\)

\(
\left(x + \frac{7}{5}\right)(x — 2) \geq 0;
\)

\(
x \leq -\frac{7}{5}, \quad x \geq 2;
\)

Область определения:

\(
1 — x > 0, \quad -5x — 2 > 0;
\)

то есть

\(
x < 1, \quad x < -\frac{2}{5};
\)

Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{7}{5}].
\)

1)
\(
\lg x + \lg (x — 3) > 1;
\)

Используем свойство логарифмов: сумма логарифмов равна логарифму произведения, если основания одинаковые:

\(
\lg (x(x — 3)) > 1.
\)

Поскольку \(\lg a > \lg b \iff a > b\) при \(a,b > 0\), то

\(
x(x — 3) > 10^1 = 10.
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 3x > 10.
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 — 3x — 10 > 0.
\)

Найдем дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49.
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5.
\)

Поскольку квадратное выражение положительно вне корней:

\(
x < -2 \quad \text{или} \quad x > 5.
\)

Область определения логарифмов:

\(
x > 0, \quad x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3.
\)

Пересечение с решением:

\(
x > 5.
\)

Ответ:
\(
(5; +\infty).
\)

2)
\(
\log_{\frac{1}{3}} (x + 2) + \log_{\frac{1}{3}} x < -1.
\)

Сложение логарифмов с одинаковым основанием:

\(
\log_{\frac{1}{3}} (x(x + 2)) < -1.
\)

Преобразуем правую часть:

\(
-1 = \log_{\frac{1}{3}} 3,
\)

поскольку \(\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1\) (основание \(\frac{1}{3}\)).

Тогда неравенство:

\(
\log_{\frac{1}{3}} (x^2 + 2x) < \log_{\frac{1}{3}} 3.
\)

Основание меньше 1, значит знак неравенства меняется при переходе от логарифма к аргументу:

\(
x^2 + 2x > 3.
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 + 2x — 3 > 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.
\)

Квадратное выражение положительно вне корней:

\(
x < -3 \quad \text{или} \quad x > 1.
\)

Область определения логарифмов:

\(
x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2,
\)
\(
x > 0.
\)

Пересечение с решением:

\(
x > 1.
\)

Ответ:
\(
(1; +\infty).
\)

3)
\(
\log_2 x + \log_2 (x + 4) < 5.
\)

Сумма логарифмов:

\(
\log_2 (x(x + 4)) < 5.
\)

Переход к аргументам:

\(
x(x + 4) < 2^5 = 32.
\)

Раскрываем скобки:

\(
x^2 + 4x < 32.
\)

Переносим:

\(
x^2 + 4x — 32 < 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-4 — 12}{2} = -8, \quad x_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4.
\)

Квадратное выражение отрицательно между корнями:

\(
-8 < x < 4.
\)

Область определения:

\(
x > 0, \quad x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4.
\)

Пересечение:

\(
0 < x < 4.
\)

Ответ:
\(
(0; 4).
\)

4)
\(
\log_{0.1} (x — 5) + \log_{0.1} (x — 2) \geq -1.
\)

Сложение логарифмов:

\(
\log_{0.1} ((x — 5)(x — 2)) \geq -1.
\)

Преобразуем правую часть:

\(
-1 = \log_{0.1} 10,
\)

поскольку \(\log_{0.1} 10 = -1\).

Тогда:

\(
\log_{0.1} ((x — 5)(x — 2)) \geq \log_{0.1} 10.
\)

Так как основание \(0.1 < 1\), знак неравенства меняется:

\(
(x — 5)(x — 2) \leq 10.
\)

Раскроем скобки:

\(
x^2 — 7x + 10 \leq 10.
\)

Переносим:

\(
x^2 — 7x \leq 0.
\)

Факторизуем:

\(
x(x — 7) \leq 0.
\)

Решение:

\(
0 \leq x \leq 7.
\)

Область определения:

\(
x — 5 > 0 \Rightarrow x > 5,
\)
\(
x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2.
\)

Пересечение с решением:

\(
5 < x \leq 7.
\)

Ответ:
\(
(5; 7].
\)

5)
\(
\log_6 (5x + 8) + \log_6 (x + 1) \leq 1 — \log_6 3.
\)

Сложение логарифмов:

\(
\log_6 ((5x + 8)(x + 1)) \leq 1 — \log_6 3.
\)

Преобразуем правую часть:

\(
1 = \log_6 6,
\)

тогда

\(
1 — \log_6 3 = \log_6 6 — \log_6 3 = \log_6 \frac{6}{3} = \log_6 2.
\)

Таким образом:

\(
\log_6 ((5x + 8)(x + 1)) \leq \log_6 2.
\)

Переход к аргументам (основание больше 1, знак сохраняется):

\(
(5x + 8)(x + 1) \leq 2.
\)

Раскроем скобки:

\(
5x^2 + 5x + 8x + 8 \leq 2,
\)

\(
5x^2 + 13x + 8 \leq 2.
\)

Переносим:

\(
5x^2 + 13x + 6 \leq 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = 13^2 — 4 \cdot 5 \cdot 6 = 169 — 120 = 49.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{-13 — 7}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2,
\)
\(
x_2 = \frac{-13 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}.
\)

Квадратное выражение \(\leq 0\) между корнями:

\(
-2 \leq x \leq -\frac{3}{5}.
\)

Область определения логарифмов:

\(
5x + 8 > 0 \Rightarrow x > -\frac{8}{5} = -1.6,
\)
\(
x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1.
\)

Пересечение с решением:

\(
x > -1,
\)

значит

\(
-1 < x \leq -\frac{3}{5}.
\)

Ответ:
\(
(-1; -\frac{3}{5}].
\)

6)
\(
\log_3 (1 — x) + \log_3 (-5x — 2) \geq 2 \log_3 2 + 1.
\)

Сложение логарифмов:

\(
\log_3 \left((1 — x)(-5x — 2)\right) \geq \log_3 (2^2) + 1.
\)

Преобразуем правую часть:

\(
2 \log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4,
\)
\(
1 = \log_3 3,
\)

тогда

\(
2 \log_3 2 + 1 = \log_3 4 + \log_3 3 = \log_3 (4 \cdot 3) = \log_3 12.
\)

Таким образом:

\(
\log_3 \left((1 — x)(-5x — 2)\right) \geq \log_3 12.
\)

Переход к аргументам (основание больше 1):

\(
(1 — x)(-5x — 2) \geq 12.
\)

Раскроем скобки:

\(
-5x — 2 + 5x^2 + 2x \geq 12,
\)

\(
5x^2 — 3x — 2 \geq 12.
\)

Переносим:

\(
5x^2 — 3x — 14 \geq 0.
\)

Дискриминант:

\(
D = (-3)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289.
\)

Корни:

\(
x_1 = \frac{3 — 17}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -\frac{7}{5},
\)
\(
x_2 = \frac{3 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2.
\)

Квадратное выражение \(\geq 0\) вне корней:

\(
x \leq -\frac{7}{5} \quad \text{или} \quad x \geq 2.
\)

Область определения логарифмов:

\(
1 — x > 0 \Rightarrow x < 1,
\)
\(
-5x — 2 > 0 \Rightarrow -5x > 2 \Rightarrow x < -\frac{2}{5}.
\)

Пересечение с решением:

\(
x \leq -\frac{7}{5}, \quad \text{поскольку} \quad -\frac{7}{5} < -\frac{2}{5} < 1,
\)

а \(x \geq 2\) не входит в область определения.

Ответ:
\(
(-\infty; -\frac{7}{5}].
\)